Calcule
e
para um sistema cuja equação fundamental é:
onde
é uma constante positiva.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a equação fundamental na representação entropia S(U,V,N)=A,(N V U)^{1/3}, com A constante. O objetivo é achar c_V, c_P, α e κ_T. Para isso vamos usar as definições termodinâmicas: 1/T=∂S/∂U, P/T=∂S/∂V; depois inverter U(T,V,N) para obter c_V=(∂U/∂T)_V; para c_P usamos c_P=T(∂S/∂T)_P; finalmente α=(1/V)(∂V/∂T)_P e κ_T=−(1/V)(∂V/∂P)_T.
Passo 2
Aplicando 1/T=∂S/∂U obtemos 1/T=\tfrac{A}{3}(N V){1/3}U{-2/3}, logo T=\tfrac{3}{A(NV){1/3}}U{2/3}. Em seguida P/T=∂S/∂V dá P/T=\tfrac{A}{3}(N U){1/3}V{-2/3}. Substituindo T achamos P=U/V.
Passo 3
Invertendo T(U): U(T,V,N)=\bigl[\tfrac{A(NV){1/3}}{3},T\bigr]{3/2}=\tfrac{A{3/2}}{3{3/2}}\sqrt{N V};T^{3/2}. Então c_V=(∂U/∂T)_V=\tfrac{3}{2},\tfrac{A{3/2}}{3{3/2}}\sqrt{N V};T^{1/2}.
Passo 4
Para c_P usamos a equação de estado P=U/V e U(T,V) acima para escrever V(T,P): V=\tfrac{A^3 N}{27P2}T3. Depois S(T,P)=A(NPV2){1/3} leva a S(T,P)=\tfrac{A3}{9},N,T2/P. Então c_P=T(∂S/∂T)_P=2,S(T,P).
Passo 5
Finalmente α=(1/V)(∂V/∂T)_P a partir de V∝T^3 dá α=3/T, e κ_T=−(1/V)(∂V/∂P)_T com V∝P^{−2} dá κ_T=2/P.
Resposta
c_V=\frac{A}{2}(N V U)^{1/3},\quad c_P=2A(N V U)^{1/3},\quad \alpha=\frac{3}{T},\quad \kappa_T=\frac{2}{P}