Para certo sistema termodinâmico, a relação fundamental é dada por:
, onde
é uma constante positiva. (a) Encontre a energia livre de Helmholtz
. (b) Encontre as equações de estado na representação de Helmholtz.
Passo 1
O sistema é descrito pela relação fundamental de entropia S(U,V,N) = A (N V U)^{1/3}, com A constante positiva. Precisamos encontrar a energia livre de Helmholtz F(T,V,N) e as equações de estado p e μ na representação de Helmholtz.
Passo 2
A temperatura é definida por T = (∂S/∂U)^{−1}. Calculando ∂S/∂U temos
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Invertemos para U(T,V,N):
$$U = \Bigl(\frac{A
t(NV){1/3}}{3}\Bigr){3/2} = \frac{A{3/2}}{3{3/2}},T{3/2}(NV){1/2}$$.
Passo 3
Para usar F=U−TS, precisamos também de S em função de (T,V,N). Substituindo U(T) em S(U):
Passo 4
Agora calculamos F:
Passo 5
As equações de estado na representação de Helmholtz saem de p = - (∂F/∂V){T,N} e μ = (∂F/∂N){T,V}. Derivando: