Para certo sistema termodinâmico, a relação fundamental é dada por: S=A(N V U)^1 / 3, onde A é uma constante positiva. (a) Encontre a energia livre de Helmholtz F(T, V, N). (b) Encontre as equações de estado na representação de Helmholtz.

Passo 1

O sistema é descrito pela relação fundamental de entropia S(U,V,N) = A (N V U)^{1/3}, com A constante positiva. Precisamos encontrar a energia livre de Helmholtz F(T,V,N) e as equações de estado p e μ na representação de Helmholtz.

Passo 2

A temperatura é definida por T = (∂S/∂U)^{−1}. Calculando ∂S/∂U temos
partial Spartial U = A13(N V)^1/3U^-2/3
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T = l( A13(N V)^1/3U^-2/3 r)^-1 = 3A(NV)^1/3,U^2/3
Invertemos para U(T,V,N):
$$U = \Bigl(\frac{A
t(NV){1/3}}{3}\Bigr){3/2} = \frac{A{3/2}}{3{3/2}},T{3/2}(NV){1/2}$$.

Passo 3

Para usar F=U−TS, precisamos também de S em função de (T,V,N). Substituindo U(T) em S(U):
S = A (N V)^1/3U^1/3 = A(N V)^1/3 l(A3(NV)^1/3Tr)^1/2 = A^3/23^1/2,T^1/2(NV)^1/2.

Passo 4

Agora calculamos F:
F = U - T,S = A^3/23^3/2T^3/2(NV)^1/2 - T cdot A^3/23^1/2T^1/2(NV)^1/2 = -2,A^3/23^3/2,T^3/2(NV)^1/2.

Passo 5

As equações de estado na representação de Helmholtz saem de p = - (∂F/∂V){T,N} e μ = (∂F/∂N){T,V}. Derivando:
p = -partialpartial Vl(-2A^3/23^3/2T^3/2(NV)^1/2r) = A^3/23^3/2,T^3/2,N^1/2V^-1/2,
mu = partialpartial Nl(-2A^3/23^3/2T^3/2(NV)^1/2r) = -A^3/23^3/2,T^3/2,V^1/2N^1/2

Resposta

F(T,V,N) = -2A^3/23^3/2,T^3/2(NV)^1/2,
p(T,V,N) = A^3/23^3/2,T^3/2,raizNraizV,
mu(T,V,N) = -A^3/23^3/2,T^3/2,raizVraizN

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