A relação fundamental para um gás ideal monoatômico de partículas de massa
é dada por:
onde
é a constante de Planck e
é a constante de Boltzmann. (a) Mostre que
é extensiva. (b) Obtenha as equações de estado do sistema.
Passo 1
O enunciado nos dá a função de entropia de Sackur–Tetrode para um gás ideal monoatômico:
O conteúdo é termodinâmica estatística: primeiro vamos mostrar que S é extensiva e depois derivar as equações de estado usando derivadas parciais (1/T=∂S/∂U, P/T=∂S/∂V, –μ/T=∂S/∂N).
Passo 2
Para mostrar extensionalidade, substituímos
no S dado. Note que dentro do logaritmo aparece
e fora do logaritmo todos os termos são proporcionais a λN. Assim obtém-se
o que prova que S é extensiva.
Passo 3
Para achar a temperatura, usamos
Como
vem
Logo
Passo 4
Para achar a pressão, usamos
No logaritmo S aparece ln(V/N), então
Passo 5
Para achar o potencial químico, usamos
Calculando cuidadosamente essa derivada (note que há termos em N dentro e fora do logaritmo) obtém-se
e usando a relação U=(3/2)NkT, isso leva à forma usual de Sackur–Tetrode
Resposta
(a) S é extensiva pois S(λU,λV,λN)=λS(U,V,N).
(b) As equações de estado são:
U=\frac32NkT,
PV=NkT,
μ=−kT\ln\Bigl[\bigl(\tfrac{2πmkT}{h2}\bigr){3/2}\frac VN\Bigr]
(b) As equações de estado são:
U=\frac32NkT,
PV=NkT,
μ=−kT\ln\Bigl[\bigl(\tfrac{2πmkT}{h2}\bigr){3/2}\frac VN\Bigr]