A relação fundamental para um gás ideal monoatômico de partículas de massa m é dada por:
S(U, V, N)=52 k N+k N ln [(4 pi m U3 N h^2)^3 / 2 VN]
onde h é a constante de Planck e k é a constante de Boltzmann. (a) Mostre que S(U, V, N) é extensiva. (b) Obtenha as equações de estado do sistema.

Passo 1

O enunciado nos dá a função de entropia de Sackur–Tetrode para um gás ideal monoatômico:
S(U,V,N)=52 kN + kN lnl[l(4pi m U3N h^2r)^3/2 V Nr]
O conteúdo é termodinâmica estatística: primeiro vamos mostrar que S é extensiva e depois derivar as equações de estado usando derivadas parciais (1/T=∂S/∂U, P/T=∂S/∂V, –μ/T=∂S/∂N).

Passo 2

Para mostrar extensionalidade, substituímos
Utolambda U, Vtolambda V, Ntolambda N
no S dado. Note que dentro do logaritmo aparece
l(tfrac4pi m(lambda U)3(lambda N)h^2r)^3/2lambda Vlambda N=l(tfrac4pi mU3Nh^2r)^3/2 V N
e fora do logaritmo todos os termos são proporcionais a λN. Assim obtém-se
S(lambda U,lambda V,lambda N)=lambda,S(U,V,N)
o que prova que S é extensiva.

Passo 3

Para achar a temperatura, usamos
1T=l(partial Spartial Ur)V,N
Como
S=52kN + kNln(dots U^3/2dots)
vem
partial Spartial U=kNcdot321U=32kNU
Logo
1T=32kNUimplies U=32NkT

Passo 4

Para achar a pressão, usamos
P T=l(partial Spartial Vr)U,N
No logaritmo S aparece ln(V/N), então
partial Spartial V=kN1Vimplies P T=kNVimplies PV=NkT

Passo 5

Para achar o potencial químico, usamos
-muT=l(partial Spartial Nr)U,V
Calculando cuidadosamente essa derivada (note que há termos em N dentro e fora do logaritmo) obtém-se
l(partial Spartial Nr)U,V=klnl[l(tfrac4pi mU3Nh^2r)^3/2 VNr]
e usando a relação U=(3/2)NkT, isso leva à forma usual de Sackur–Tetrode
mu=-kTlnl[l(tfrac2pi mkTh^2r)^3/2 VNr]

Resposta

(a) S é extensiva pois S(λU,λV,λN)=λS(U,V,N).
(b) As equações de estado são:
U=\frac32NkT,
PV=NkT,
μ=−kT\ln\Bigl[\bigl(\tfrac{2πmkT}{h2}\bigr){3/2}\frac VN\Bigr]

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