Considere um fluido puro caracterizado pelo grande potencial termodinâmico
Omega(T, V, mu)=V f(T) exp (muk T)
onde f(T) é uma função bem-comportada. Escreva as equações de estado na representação do grande potencial.

Passo 1

O enunciado nos dá o grande potencial do fluido puro na forma Omega(T,V,mu)=V,f(T)expl(tfracmukTr). O conteúdo é a representação do potencial termodinâmico no ensemble grand-cannonical e precisamos obter as equações de estado: pressão p, número de partículas N e entropia S em função de T,V,mu.

Passo 2

No formalismo do grande potencial temos a diferencial
dOmega=-S,dT-p,dV-N,dmu
O que nos garante as definições das variáveis de estado
p=-l(partialOmegapartial Vr)T,mu, S=-l(partialOmegapartial Tr)V,mu, N=-l(partialOmegapartial mur)T,V.

Passo 3

Para encontrar a pressão calculamos
partialOmegapartial V=f(T)expl(tfracmukTr)
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p=-f(T)expl(tfracmukTr)

Passo 4

Para o número de partículas:
partialOmegapartialmu=V,f(T)expl(tfracmukTr)cdot1kT
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N=-VkT,f(T)expl(tfracmukTr)

Passo 5

Para a entropia derivamos em relação a T mantendo V,mu fixos:
partialOmegapartial T=Vexpl(tfracmukTr)gl[f'(T)-f(T)mukT^2gr]
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S=-Vexpl(tfracmukTr)l[f'(T)-tfracmukT^2f(T)r]

Resposta

As equações de estado na representação do grande potencial são:
p(T,mu)=-f(T)expl(mukTr),
N(T,V,mu)=-VkTf(T)expl(mukTr),
S(T,V,mu)=-Vexpl(mukTr)l[f'(T)-mukT^2f(T)r]

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