As equações seguintes pretendem ser equações fundamentais de sistemas termodinâmicos. No entanto, algumas são inconsistentes com as propriedades que deve possuir a entropia, e consequentemente, não são fisicamente aceitáveis (lembre que a entropia deve ser uma função contínua, diferenciável e monotonamente crescente da energia, deve ser extensiva, e
quando
). Encontrar as equações que não são fisicamente admissíveis e indicar pelo menos uma propriedade violada em cada caso. As quantidades
e
são constantes positivas, e em todos os casos em que aparecem expoentes fracionários, somente a raiz real positiva deve ser considerada.
Passo 1
O enunciado pede para verificar quatro potenciais equações fundamentais que dão a entropia S em função de U, V e N, e apontar quais não são fisicamente aceitáveis. O conteúdo é termodinâmica estatística: entendemos que S deve ser contínua, diferenciável, extensivamente homogênea de grau 1 em (U,V,N), monotonicamente crescente em U e satisfazer S→0 quando T→0.
Passo 2
Para S = A[N V U]^{1/3}, sob escala (U,V,N)→(λU,λV,λN) temos S→λ S, logo é extensiva. Também ∂S/∂U=(A/3)(N V){1/3}U{−2/3}>0, então cresce com U. Quando U→0, S→0 e T→0. É contínua e diferenciável para U>0. Portanto é fisicamente admissível.
Passo 3
Para S = A[N U/V]^{2/3}, ao escalar (U,V,N)→(λU,λV,λN) a combinação NU/V→λ (NU/V) e S→λ^{2/3}S. Ou seja, não escala linearmente com λ e falha na extensividade.
Passo 4
Para S = A[N U−B V{2}]{1/2}, sob (U,V,N)→(λU,λV,λN) o argumento →λ^{2}(NU−B V^{2}), de modo que S→λ S, é extensiva. Calculando ∂S/∂U=(A/2)N(NU−B V{2}){−1/2}>0 e quando T→0 (NU→B V^{2}) temos S→0, atendendo as propriedades. É contínua e diferenciável para NU>BV^{2}.
Passo 5
Para S = A V^{3}/(N U), computando ∂S/∂U=−A V^{3}/(N U^{2})<0, logo S diminui quando U aumenta. Isso viola a monotonicidade em relação à energia.
Resposta
As equações 2 e 4 não são fisicamente admissíveis. A equação 2 viola a extensividade e a equação 4 viola a monotonicidade de S em relação à energia (∂S/∂U<0).