Calcule integralC F d r, em que F(x, y, z)=(x^3-z) i+x y j+(y+z^2) k e C é curva que é intereseção do paraboloide z=x^2+y^2 e o plano z=x. Você deve citar qual é o teorema que está sendo utilizado e também fazer um esboço de C.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de linha
ointCvec Fcdot dvec r
onde vec F(x,y,z)=(x^3 - z),vec i + x y,vec j + (y+z^2),vec k e C é a interseção do paraboloide z=x^2+y^2 com o plano z=x. Vamos usar o Teorema de Stokes, que troca a integral de linha por uma integral de superfície.

Passo 2

O Teorema de Stokes diz que, para uma superfície S com fronteira C e uma orientação compatível,
ointCvec Fcdot dvec r ;=;integral duplaS(nablatimesvec F)cdotvec n,dS

Passo 3

Calculamos o rotacional de vec F:
nablatimesvec F = vec i & vec j & vec k partialx & partialy & partialz x^3 - z & x y & y + z^2 =l(partialy(y+z^2)-partialz(xy)r)vec i -l(partialx(y+z^2)-partialz(x^3-z)r)vec j +l(partialx(xy)-partialy(x^3-z)r)vec k
Isto dá
nablatimesvec F =(1-0),vec i-(-1-0),vec j+(y-0),vec k =lang<=1,,-1,;yrang<=

Passo 4

Escolhemos S como a parte do plano z=x limitada por C.
Parametrização de S:
vec r(u,v)=l(u,;v,;ur),(u,v)in D,
onde D é o disco em uv-plano tal que
z=x^2+y^2 e z=x ;Longrightarrow; x^2+y^2=x ;Longrightarrow;(u-tfrac12)^2+v^2=tfrac14
Logo D é o disco centrado em (tfrac12,0) de raio tfrac12.
Esboço de C: um círculo de raio tfrac12 no plano inclinado z=x, com centro em l(tfrac12,0,tfrac12r).

Passo 5

Calculamos os vetores da parametrização:
vec ru=lang<=1,0,1rang<=, vec rv=lang<=0,1,0rang<=,
e o vetor normal-orientado é
vec rutimesvec rv =llang<=-1,,0,,1rrang<=

Passo 6

Em vec r(u,v) temos y=v, logo
(nablatimesvec F)l(vec r(u,v)r) =lang<=1,, -1,, vrang<=,
e o produto escalar com vec rutimesvec rv é
lang<=1,-1,vrang<=cdotlang<=-1,0,1rang<= =-1+v
Assim
ointCvec Fcdot dvec r =integral duplaD(-1+v),dA

Passo 7

Para o disco Dcolon (u-tfrac12)^2+v^2<=l(tfrac12r)^2, fazemos a mudança a=u-tfrac12, b=v. Então
integral duplaD(-1+v),dA =integral duplaa^2+b^2<=(1/2)^2(-1+b),da,db
O termo -1 integra-se a -1cdotpi(tfrac12)^2=-tfracpi4 e o termo b integra-se a zero por simetria. Logo
ointCvec Fcdot dvec r=-pi4

Resposta

boxed-pi4

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