Calcule , em que e é curva que é intereseção do paraboloide e o plano . Você deve citar qual é o teorema que está sendo utilizado e também fazer um esboço de .
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral de linha
onde e é a interseção do paraboloide com o plano . Vamos usar o Teorema de Stokes, que troca a integral de linha por uma integral de superfície.
Passo 2
O Teorema de Stokes diz que, para uma superfície com fronteira e uma orientação compatível,
Passo 3
Calculamos o rotacional de :
Isto dá
nablatimesvec F =(1-0),vec i-(-1-0),vec j+(y-0),vec k =lang<=1,,-1,;yrang<=
Passo 4
Escolhemos S como a parte do plano z=x limitada por C.
Parametrização de S:
vec r(u,v)=l(u,;v,;ur),(u,v)in D,
onde D é o disco em uv-plano tal que
z=x^2+y^2 e z=x ;Longrightarrow; x^2+y^2=x ;Longrightarrow;(u-tfrac12)^2+v^2=tfrac14
Logo D é o disco centrado em (tfrac12,0) de raio tfrac12.
Esboço de C: um círculo de raio tfrac12 no plano inclinado z=x, com centro em l(tfrac12,0,tfrac12r).