Considere a função f: D subseteq R^2 R dada por f(x, y)=raiz4-x^2-y^2.
Qual é o domínio D e qual é a imagem de f?

Passo 1

O enunciado nos dá a função
fcolon DsubseteqR^2 to R, f(x,y)=raiz4 - x^2 - y^2
e pede o domínio D e a imagem de f. Vamos usar a condição de existência da raiz quadrada (argumento não negativo) para achar o domínio e depois analisar os valores de f para obter a imagem.

Passo 2

Para que a raiz exista, é preciso
4 - x^2 - y^2 >= 0
ou seja
x^2 + y^2 <= 4
Logo o domínio é o disco fechado de raio 2 centrado na origem:
D = (x,y)inR^2 mid x^2 + y^2 <= 4

Passo 3

No domínio temos r^2 = x^2+y^2in[0,4], de modo que
f(x,y)=raiz4 - r^2
assume valores entre raiz4-4=0 e raiz4-0=2. Assim a imagem é o intervalo fechado de 0 a 2.

Resposta

D = (x,y)inR^2 mid x^2 + y^2 <= 4,
Im(f) = [0,2]

Exercícios relacionados