Suponha que em uma certa região do plano o potencial elétrico V seja dado por
V(x, y)=x^2+2 x y+y^2
Determine a taxa de variação do potencial em P(1,1) na direção do vetor v=2 i-j.

Passo 1

O enunciado nos dá o potencial elétrico na região
V(x,y)=x^2+2xy+y^2
e pede a taxa de variação de V no ponto P(1,1) na direção do vetor v=2i-j.
Isso é um problema de derivada direcional: vamos precisar calcular o gradiente de V, obter o versor na direção de v e depois fazer o produto escalar.

Passo 2

Calculamos o gradiente de V, que é dado por
nabla V(x,y)=l(partial Vpartial x,partial Vpartial yr)
Como partial Vpartial x=2x+2y e partial Vpartial y=2x+2y, temos
nabla V(x,y)=(2x+2y,;2x+2y)
Em P(1,1),
nabla V(1,1)=(2cdot1+2cdot1,;2cdot1+2cdot1)=(4,4)

Passo 3

Para achar o versor u na direção de v=(2,-1), calculamos a norma de v:
|v|=raiz2^2+(-1)^2=raiz5
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u=v|v|=l(2raiz5,-1raiz5r)

Passo 4

A derivada direcional de V em P na direção u é
DuV(P)=nabla V(1,1)cdot u=(4,4)cdotl(2raiz5,-1raiz5r) =8-4raiz5=4raiz5

Resposta

A taxa de variação de V em P(1,1) na direção de v é 4raiz5.

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