Calcule a curva de rotação, i.e.
, para
uma esfera homogênea de massa total
e raio
uma esfera homogênea de massa total
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a curva de rotação
— ou seja, a velocidade circular de uma partícula que orbita em torno do centro — para uma esfera homogênea de massa total
e raio
, em função da distância radial
ao centro.
Informações dadas e considerações importantes que vêm do enunciado:
- A esfera é homogênea (densidade constante).
- A massa total é
. - O raio da esfera é
. - A variável é
, e devemos considerar os casos (ponto dentro da esfera) e (ponto fora da esfera). - Vamos usar a constante gravitacional
. - Não há outras forças além da gravidade e da força centrípeta necessária para movimento circular.
Passo 2
Primeiro passo técnico: achar a densidade volumétrica constante
da esfera. Como a esfera é homogênea, a densidade é massa dividido pelo volume da esfera.
O volume de uma esfera de raio
é
Logo a densidade é
Explicação didática: densidade é “quantos quilos por metro cúbico” — aqui distribuímos a massa
igualmente por todo o volume.
Passo 3
Caso fora da esfera:
.
Para um ponto fora da esfera toda a massa
atua como se estivesse concentrada no centro (teorema das cascas de Newton / lei do inverso do quadrado). Portanto a massa que produz a força gravitacional é
.
A força gravitacional sobre uma pequena massa de prova
é
Para movimento circular de raio
essa massa precisa de uma força centrípeta
onde
é a velocidade orbital buscada. Igualando forças (gravidade fornece a centrípeta):
Cancelamos
e resolvemos para
:
Interpretação: fora da esfera a curva de rotação é a familiar lei de Kepler/newtoniana — a velocidade decai como
.
Passo 4
Caso dentro da esfera:
.
Pelo teorema das cascas (ou pelo uso direto da lei de Gauss para gravitação), apenas a massa contida dentro do raio
contribui para a força gravitacional no ponto — as camadas externas não exercem força líquida. Então precisamos da massa interna
contida em uma esfera de raio
.
Usando a densidade homogênea
encontrada em
Passo 5
Substituindo
dá
Agora a força gravitacional sobre a massa de prova
(devida apenas a
) é
A força centrípeta necessária continua sendo
. Igualando:
Cancelamos
e isolamos
:
Interpretação: dentro da esfera a velocidade cresce linearmente com
. Isso é igual ao comportamento de um corpo em “rotação sólida” (por isso às vezes se chama perfil de velocidade de corpo rígido).
Passo 6
Verificações e observações úteis para a prova (como checar o resultado rápido):
- Continuidade em
: substituindo na expressão interna:
que é exatamente o valor da expressão externa em
. Ou seja, a curva de rotação é contínua na superfície.
- Máximo da velocidade: dentro da esfera
cresce com , fora decresce com ; portanto o valor máximo ocorre na superfície , com
- Dica prática na prova: memorize o raciocínio — densidade constante →
→ dentro ; fora . Para obter as fórmulas, sempre iguale força gravitacional a força centrípeta.