Calcule a curva de rotação, i.e. v(r), para
uma esfera homogênea de massa total M e raio R

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a curva de rotação v(r) — ou seja, a velocidade circular de uma partícula que orbita em torno do centro — para uma esfera homogênea de massa total M e raio R, em função da distância radial r ao centro.
Informações dadas e considerações importantes que vêm do enunciado:
  • A esfera é homogênea (densidade constante).
  • A massa total é M.
  • O raio da esfera é R.
  • A variável é r\ge 0, e devemos considerar os casos r<R (ponto dentro da esfera) e r\ge R (ponto fora da esfera).
  • Vamos usar a constante gravitacional G.
  • Não há outras forças além da gravidade e da força centrípeta necessária para movimento circular.

Passo 2

Primeiro passo técnico: achar a densidade volumétrica constante \rho da esfera. Como a esfera é homogênea, a densidade é massa dividido pelo volume da esfera.
O volume de uma esfera de raio R é
\frac{4}{3}\pi R^{3}.
Logo a densidade é
\rho=\frac{M}{\tfrac{4}{3}\pi R^{3}}=\frac{3M}{4\pi R^{3}}.
Explicação didática: densidade é “quantos quilos por metro cúbico” — aqui distribuímos a massa M igualmente por todo o volume.

Passo 3

Caso fora da esfera: r\ge R.
Para um ponto fora da esfera toda a massa M atua como se estivesse concentrada no centro (teorema das cascas de Newton / lei do inverso do quadrado). Portanto a massa que produz a força gravitacional é M.
A força gravitacional sobre uma pequena massa de prova m é
F_{\text{grav}}=\frac{G M m}{r^{2}}.
Para movimento circular de raio r essa massa precisa de uma força centrípeta
F_{\text{cent}}=\frac{m v^{2}}{r},
onde v é a velocidade orbital buscada. Igualando forças (gravidade fornece a centrípeta):
\frac{G M m}{r^{2}}=\frac{m v^{2}}{r}.
Cancelamos m e resolvemos para v:
v^{2}=\frac{G M}{r}\quad\Rightarrow\quad v(r)=\sqrt{\frac{G M}{r}} \quad\text{para } r\ge R.
Interpretação: fora da esfera a curva de rotação é a familiar lei de Kepler/newtoniana — a velocidade decai como r^{-1/2}.

Passo 4

Caso dentro da esfera: 0\le r<R.
Pelo teorema das cascas (ou pelo uso direto da lei de Gauss para gravitação), apenas a massa contida dentro do raio r contribui para a força gravitacional no ponto — as camadas externas não exercem força líquida. Então precisamos da massa interna M(r) contida em uma esfera de raio r.
Usando a densidade homogênea \rho encontrada em

Passo 5

M(r)=\rho\cdot \frac{4}{3}\pi r^{3}.
Substituindo \rho=\dfrac{3M}{4\pi R^{3}}
M(r)=\frac{3M}{4\pi R^{3}}\cdot \frac{4}{3}\pi r^{3}=M\frac{r^{3}}{R^{3}}.
Agora a força gravitacional sobre a massa de prova m (devida apenas a M(r)) é
F_{\text{grav}}=\frac{G M(r) m}{r^{2}}=\frac{G\;M\frac{r^{3}}{R^{3}}\;m}{r^{2}}=G M m\frac{r}{R^{3}}.
A força centrípeta necessária continua sendo \dfrac{m v^{2}}{r}. Igualando:
G M m\frac{r}{R^{3}}=\frac{m v^{2}}{r}.
Cancelamos m e isolamos v:
v^{2}=G M \frac{r^{2}}{R^{3}}\quad\Rightarrow\quad v(r)=r\sqrt{\frac{G M}{R^{3}}}\quad\text{para } r<R.
Interpretação: dentro da esfera a velocidade cresce linearmente com r. Isso é igual ao comportamento de um corpo em “rotação sólida” (por isso às vezes se chama perfil de velocidade de corpo rígido).

Passo 6

Verificações e observações úteis para a prova (como checar o resultado rápido):
  1. Continuidade em r=R: substituindo r=R na expressão interna:
v(R)=R\sqrt{\frac{G M}{R^{3}}}=\sqrt{\frac{G M}{R}},
que é exatamente o valor da expressão externa em r=R. Ou seja, a curva de rotação é contínua na superfície.
  1. Máximo da velocidade: dentro da esfera v cresce com r, fora decresce com r; portanto o valor máximo ocorre na superfície r=R, com
v_{\max}=v(R)=\sqrt{\frac{G M}{R}}.
  1. Dica prática na prova: memorize o raciocínio — densidade constante → M(r)\propto r^{3} → dentro v\propto r; fora v\propto r^{-1/2}. Para obter as fórmulas, sempre iguale força gravitacional a força centrípeta.

Resposta

v(r)= \begin{cases} r\displaystyle\sqrt{\dfrac{G M}{R^{3}}}, & 0\le r< R,\\[8pt] \displaystyle\sqrt{\dfrac{G M}{r}}, & r\ge R. \end{cases}]

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