Calcule a curvatura da curva r(t)=(e^t cos (t), e^t sen(t), t) no ponto P=(1,0,0).

Passo 1

O enunciado pede a curvatura da curva
r(t)=l(e^tcos t,;e^tsen t,;tr)
no ponto P=(1,0,0). Vamos usar a fórmula da curvatura de uma curva no espaço parametrizada por t:
kappa(t)=l|vec r,'(t)times vec r,''(t)r|l|vec r,'(t)r|^3

Passo 2

Precisamos achar o valor de que gera . Da terceira componente temos . Verificando as outras duas:
logo corresponde exatamente a .

Passo 3

Calculemos as derivadas:
vec r,'(t)=l(e^t(cos t-sen t),;e^t(sen t+cos t),;1r),
vec r,''(t)=l(-2e^tsen t,;2e^tcos t,;0r)

Passo 4

Avalie em t0=0:
vec r,'(0)=(1,1,1), vec r,''(0)=(0,2,0)
O produto vetorial é
vec r,'(0)times vec r,''(0) =(-2,0,2),
cuja norma é raiz(-2)^2+0^2+2^2=2raiz2. Além disso
|vec r,'(0)|=raiz1^2+1^2+1^2=raiz3

Passo 5

Substituindo na fórmula da curvatura em t=0:
kappa(0) = 2raiz2(raiz3)^3 = 2raiz23raiz3 = 2raiz69

Resposta

A curvatura no ponto P é kappa=2raiz69.

Exercícios relacionados