Calcule a curvatura da curva r(t)=(t, t^2, t^3) no ponto P=(1,1,1).

Passo 1

O enunciado pede a curvatura kappa da curva vec r(t)=(t,t^2,t^3) em P=(1,1,1). O conteúdo aqui é Cálculo Vetorial: usamos a fórmula
kappa=|vec r'(t)times vec r''(t)||vec r'(t)|^3,

Passo 2

Primeiro achamos o parâmetro t0 tal que vec r(t0)=P. Como
vec r(1)=(1,1^2,1^3)=(1,1,1),
vemos que t0=1.

Passo 3

Calculamos as derivadas primeira e segunda:
vec r'(t)=(1,2t,3t^2), vec r''(t)=(0,2,6t)
Em t=1 isso dá
vec r'(1)=(1,2,3), vec r''(1)=(0,2,6)

Passo 4

Agora o produto vetorial em t=1:
vec r'(1)times vec r''(1) =(1,2,3)times(0,2,6) =(6-6,,-(6-0),,2-0) =(6,,-6,,2)
|vec r'(1)times vec r''(1)| =raiz6^2+(-6)^2+2^2 =raiz36+36+4 =raiz76 =2raiz19

Passo 5

Também calculamos
|vec r'(1)| =raiz1^2+2^2+3^2 =raiz14

Passo 6

Finalmente aplicamos a fórmula da curvatura:
kappa =2raiz19l(raiz14r)^3 =2raiz1914raiz14 =raiz197raiz14

Resposta

kappa=raiz197raiz14.

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