A) Nos seguintes problemas, determine se as sequiências convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite.
(1-1n)^n

Passo 1

O enunciado pede o comportamento da sequência
an = l(1 - tfrac1nr)^n
O conteúdo envolve limites de sequências e podemos usar propriedades de logaritmos e limites notáveis para identificar se converge e qual é o seu limite.

Passo 2

Supondo que exista ell = limntoinftyan>0, aplicamos logaritmo para facilitar o cálculo:
lnell = limntoinftyln an = limntoinftyn,lnl(1 - tfrac1nr)

Passo 3

Calculamos o limite do logaritmo usando o desenvolvimento ln(1 + x)sim x quando xto0. Aqui x = -1/n, logo
lnl(1 - tfrac1nr) = -tfrac1n + ol(tfrac1nr),
e portanto
n,lnl(1 - tfrac1nr) = nl(-tfrac1n + o(tfrac1n)r) = -1 + o(1) ;longrightarrow;-1

Passo 4

Como lnell = -1, concluímos ell = e^-1 = 1/e. Assim a sequência l(1-tfrac1nr)^n converge.

Resposta

A sequência converge e
limntoinftyl(1 - tfrac1nr)^n = tfrac1e

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