Utilize o teste da comparação para dizer se as seguintes séries convergem ou divergem.
sumn=1^infty 1n raizn^2-1

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
sumn=1^infty1nraizn^2-1
converge ou diverge, usando o teste de comparação. Aqui o conteúdo é séries numéricas e vamos precisar lembrar que, se 0 <= an <= bn para todo n grande e sum bn converge, então sum an também converge.

Passo 2

Perceba que em n=1 o termo 1nraizn^2-1 não está bem definido, pois raiz1^2-1=0. Portanto, começamos a análise em n>=2. Para esses n temos
n^2-1 ;=; n^2l(1-tfrac1n^2r);>=;tfrac12,n^2 longrightarrow raizn^2-1;>=;raiztfrac12,n ;=;nraiz2

Passo 3

Com essa desigualdade no denominador obtemos, para todo n>=2,
0 < 1nraizn^2-1 ;<=; 1n,(n/raiz2) ;=; raiz2n^2
Então basta comparar com a série sumn=2^infty raiz2n^2.

Passo 4

Sabemos que sumn=2^infty raiz2n^2 = raiz2sumn=2^infty 1n^2 é convergente, pois é uma série-p com p=2>1. Pelo teste de comparação, como
0<= 1nraizn^2-1<= raiz2n^2
e sum raiz2n^2 converge, segue que
sumn=2^infty1nraizn^2-1
também converge. Acrescentar ou tirar o termo de índice n=1 não altera a convergência.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados