Calcule a derivada das funções abaixo:
f(x)=sin (e^1x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada da função f(x) = sin(e^1x) . Vamos usar o conteúdo de derivadas, mais especificamente a regra da cadeia, que é essencial quando temos funções compostas como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que compõem a composição. Temos uma função trigonométrica sin(u) , onde u = e^1x . Para derivar f(x) , precisamos aplicar a regra da cadeia, que diz que a derivada de uma função composta f(g(x)) é f'(g(x)) cdot g'(x) .

Passo 3

Vamos começar derivando a função externa, que é sin(u) . A derivada de sin(u) em relação a u é cos(u) .

Passo 4

Agora, vamos derivar a função interna u = e^1x . A derivada de e^v em relação a v é e^v , multiplicada pela derivada de v . Aqui, v = 1x .

Passo 5

A derivada de v = 1x em relação a x é -1x^2 . Isso porque ddx(x^-1) = -x^-2 .

Passo 6

Agora, juntando tudo usando a regra da cadeia: a derivada de f(x) é a derivada da função externa cos(u) multiplicada pela derivada da função interna e^1x .

Passo 7

Substituindo os valores, temos:
f'(x) = cos(e^1x) cdot e^1x cdot (-1x^2)

Resposta

Então, a derivada da função é:
f'(x) = -e^1x cos(e^1x)x^2

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