Utilize o teste da comparação para dizer se as seguintes séries convergem ou divergem.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos a série infinita:
O conteúdo que vamos usar para resolver isso é o Teste da Comparação, que serve para verificar se uma série converge ou diverge comparando-a com outra série cuja convergência já conhecemos. Para aplicar esse teste, precisamos simplificar a expressão da série e escolher uma série de comparação adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série original:
Aqui, vemos que o termo dominante é
. Isso significa que, para grandes valores de
, o comportamento da série é principalmente controlado por
.
Passo 3
Agora, vamos considerar a série de comparação:
Essa é uma série p, onde
. A regra para séries p diz que ela converge se
e diverge se
. No nosso caso,
, então sabemos que essa série diverge.
Passo 4
Vamos comparar os termos das duas séries:
Ou seja, cada termo da nossa série original é maior ou igual ao termo correspondente da série p que sabemos que diverge.
Passo 5
De acordo com o Teste da Comparação, se a série com a qual estamos comparando diverge e os termos da nossa série original são maiores ou iguais, então a nossa série também diverge.
Resposta
Portanto, a série
diverge.