Utilize o teste da comparação para dizer se as seguintes séries convergem ou divergem.
sumn=1^infty n+1n raizn

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos a série infinita:
sumn=1^infty n+1n raizn
O conteúdo que vamos usar para resolver isso é o Teste da Comparação, que serve para verificar se uma série converge ou diverge comparando-a com outra série cuja convergência já conhecemos. Para aplicar esse teste, precisamos simplificar a expressão da série e escolher uma série de comparação adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série original:
n+1n raizn = nn raizn + 1n raizn = 1raizn + 1n^3/2
Aqui, vemos que o termo dominante é 1raizn . Isso significa que, para grandes valores de n , o comportamento da série é principalmente controlado por 1raizn .

Passo 3

Agora, vamos considerar a série de comparação:
sumn=1^infty 1raizn
Essa é uma série p, onde p = 12 . A regra para séries p diz que ela converge se p > 1 e diverge se p <= 1 . No nosso caso, 12 <= 1 , então sabemos que essa série diverge.

Passo 4

Vamos comparar os termos das duas séries:
n+1n raizn = 1raizn + 1n^3/2 >= 1raizn
Ou seja, cada termo da nossa série original é maior ou igual ao termo correspondente da série p que sabemos que diverge.

Passo 5

De acordo com o Teste da Comparação, se a série com a qual estamos comparando diverge e os termos da nossa série original são maiores ou iguais, então a nossa série também diverge.

Resposta

Portanto, a série
sumn=1^infty n+1n raizn
diverge.

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