Calcule a curvatura k(t) das seguintes curvas:
gamma(t)=(a sen t, b cos t), a, b in R;

Passo 1

Temos a curva parametrizada gamma(t) = (asin t,,bcos t). O conteúdo aqui é curvatura de curva plana e vamos usar a definição geral para parametrização por t:
k(t) = lvert x'(t)y''(t) - y'(t)x''(t)rvertl(x'(t)^2 + y'(t)^2r)^3/2
Para isso, precisamos calcular as derivadas primeira e segunda de gamma(t).

Passo 2

Vamos derivar componente a componente:
gamma'(t) = (x'(t),y'(t)) = (acos t,,-bsin t),
gamma''(t) = (x''(t),y''(t)) = (-asin t,,-bcos t)
Aqui usamos que a derivada de sin t é cos t e de cos t é -sin t.

Passo 3

Agora montamos o numerador da fórmula:
x'(t)y''(t) - y'(t)x''(t) = l(acos tr)l(-bcos tr) - l(-bsin tr)l(-asin tr) = -abcos^2 t - absin^2 t = -ab
Tomando valor absoluto, o numerador fica lvert -abrvert = |a,b|.

Passo 4

Em seguida, calculamos a velocidade e elevamos ao cubo:
lVertgamma'(t)rVert = raiz(acos t)^2 + (-bsin t)^2 = raiza^2cos^2 t + b^2sin^2 t,
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llVertgamma'(t)rrVert^3 = l(a^2cos^2 t + b^2sin^2 tr)^3/2

Passo 5

Finalmente, aplicando a definição de curvatura:
k(t) = |a,b|l(a^2cos^2 t + b^2sin^2 tr)^3/2

Resposta

k(t) = dfrac|a,b|l(a^2cos^2 t + b^2sin^2 tr)^3/2.

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