A catenária é a curva formada ao fixarmos duas extremidades de um fio, sem ação de nenhum tipo de força. Esta curva é comumente confundida com a parábola. Sabendo que sua parametrização é dada por:
alpha(t)=(t, a cosh (ta)), t in R, a constante. Calcule k(t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre a catenária, que é a curva que um fio forma quando pendurado entre dois pontos sem nenhuma força agindo sobre ele, como vento ou peso adicional. Às vezes, a catenária é confundida com uma parábola, mas elas são diferentes. Aqui, a curva é dada pela parametrização:
alpha(t) = (t, a cosh (ta)), t in R, a constante
Nosso objetivo é calcular $ k(t) $, que representa a curvatura da curva nesse ponto. Para isso, vamos precisar entender como calcular a curvatura de uma curva parametrizada e aplicar isso à nossa catenária.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para a curvatura $ k(t) $ de uma curva parametrizada por $ \alpha(t) = (x(t), y(t)) $:
k(t)
Essa fórmula nos permite encontrar o quanto a curva está “curvando” em cada ponto $ t $.

Passo 3

Agora, vamos identificar as funções $ x(t) $ e $ y(t) $ da nossa parametrização:
x(t)
y(t)
Vamos calcular as derivadas necessárias:
Primeira derivada de $ x(t) $:
x(t) = t
Primeira derivada de $ y(t) $:
y(t) = a cosh(ta)
Segunda derivada de $ x(t) $:
x(t)
Segunda derivada de $ y(t) $:
x'(t) = ddt t = 1

Passo 4

Agora que temos todas as derivadas, vamos substituí-las na fórmula da curvatura:
k(t) = |x'(t) cdot y''(t) - y'(t) cdot x''(t)|( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 )^3/2
Substituindo:
k(t) = |1 cdot 1a cosh(ta) - sinh(ta) cdot 0|(1^2 + sinh^2(ta))^3/2 = 1a cosh(ta)(1 + sinh^2(ta))^3/2

Passo 5

Agora, vamos simplificar o denominador. Sabemos que a identidade hiperbólica é:
cosh^2(x) - sinh^2(x) = 1 implies 1 + sinh^2(x) = cosh^2(x)
Aplicando isso:
1 + sinh^2(ta) = cosh^2(ta)
Então o denominador fica:
(cosh^2(ta))^3/2 = cosh^3(ta)

Passo 6

Substituindo de volta na expressão da curvatura:
k(t) = 1a cosh(ta)cosh^3(ta) = 1a cosh^2(ta)

Resposta

A curvatura da catenária é dada por:
k(t) = 1a cosh^2(ta)

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