A catenária é a curva formada ao fixarmos duas extremidades de um fio, sem ação de nenhum tipo de força. Esta curva é comumente confundida com a parábola. Sabendo que sua parametrização é dada por:
constante. Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre a catenária, que é a curva que um fio forma quando pendurado entre dois pontos sem nenhuma força agindo sobre ele, como vento ou peso adicional. Às vezes, a catenária é confundida com uma parábola, mas elas são diferentes. Aqui, a curva é dada pela parametrização:
Nosso objetivo é calcular $ k(t) $, que representa a curvatura da curva nesse ponto. Para isso, vamos precisar entender como calcular a curvatura de uma curva parametrizada e aplicar isso à nossa catenária.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para a curvatura $ k(t) $ de uma curva parametrizada por $ \alpha(t) = (x(t), y(t)) $:
Essa fórmula nos permite encontrar o quanto a curva está “curvando” em cada ponto $ t $.
Passo 3
Agora, vamos identificar as funções $ x(t) $ e $ y(t) $ da nossa parametrização:
Vamos calcular as derivadas necessárias:
Primeira derivada de $ x(t) $:
Primeira derivada de $ y(t) $:
Segunda derivada de $ x(t) $:
Segunda derivada de $ y(t) $:
Passo 4
Agora que temos todas as derivadas, vamos substituí-las na fórmula da curvatura:
Substituindo:
Passo 5
Agora, vamos simplificar o denominador. Sabemos que a identidade hiperbólica é:
Aplicando isso:
Então o denominador fica:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão da curvatura:
Resposta
A curvatura da catenária é dada por: