1. Calcule a curvatura \kappa(t) para a parábola \alpha(t)=\left(t, t^{2}\right). Em qual ponto a curvatura é máxima?

Passo 1

Enunciado e o que é pedido:
  • A curva é \alpha(t)=\left(t, t^{2}\right).
  • Pedido 1: calcular a curvatura \kappa(t) dessa curva.
  • Pedido 2: determinar em qual ponto a curvatura é máxima (ou seja, o valor de t e a coordenada correspondente).
Informações relevantes dadas:
  • Coordenadas em função do parâmetro t: x(t)=t e y(t)=t^{2}.
  • Para resolver será preciso derivar x(t) e y(t) em relação a t e aplicar a fórmula da curvatura de uma curva plana parametrizada.

Passo 2

Fórmula da curvatura para curvas planas parametrizadas:
  • Para uma curva planar dada por \alpha(t)=(x(t),y(t)), a curvatura \kappa(t) é
\kappa(t)=\frac{\bigl|x'(t)\,y''(t)-y'(t)\,x''(t)\bigr|}{\bigl(x'(t)^{2}+y'(t)^{2}\bigr)^{3/2}}.
Explicando cada termo:
  • x'(t) e y'(t) são as derivadas primeiras (velocidade da componente x e y).
  • x''(t) e y''(t) são as derivadas segundas (acelerações das componentes).
  • O numerador x'y''-y'x'' é o determinante das derivadas e mede a componente “normal” da aceleração — em termos geométricos, está relacionado à rapidez com que a direção da tangente muda.
  • O denominador \bigl(x'^{2}+y'^{2}\bigr)^{3/2} é o cubo da velocidade \|\alpha'(t)\|, garantindo que \kappa seja invariante por reparametrizações por velocidade.
  • A curvatura é sempre não-negativa por causa do valor absoluto; \kappa mede “o quanto” a curva dobra localmente. O raio de curvatura é R(t)=1/\kappa(t).

Passo 3

Calcular derivadas de x(t) e y(t).
  • Como x(t)=t, tem-se
x'(t)=1,\qquad x''(t)=0.
  • Como y(t)=t^{2}, tem-se
y'(t)=2t,\qquad y''(t)=2.
Mostrei cada derivada explicitamente para não pular etapas.

Passo 4

Substituir as derivadas na fórmula da curvatura.
  • Numerador:
x'(t)\,y''(t)-y'(t)\,x''(t)=1\cdot 2 - (2t)\cdot 0 = 2.
  • Aplicando o valor absoluto:
\bigl|x'y''-y'x''\bigr|=|2|=2.
  • Denominador:
\bigl(x'(t)^{2}+y'(t)^{2}\bigr)^{3/2}=\bigl(1^{2}+(2t)^{2}\bigr)^{3/2}=\bigl(1+4t^{2}\bigr)^{3/2}.
  • Portanto a curvatura é
\kappa(t)=\frac{2}{\bigl(1+4t^{2}\bigr)^{3/2}}.
Este é o resultado explícito pedido no primeiro item.

Passo 5

Determinar onde \kappa(t) é máxima.
  • Observação: o numerador 2 é constante; a variação de \kappa(t) depende apenas do denominador \bigl(1+4t^{2}\bigr)^{3/2}.
  • Como a função g(t)=1+4t^{2} é mínima quando t^{2} é mínima, isto é, em t=0, o denominador atinge seu mínimo em t=0.
  • Logo \kappa(t) atinge seu máximo quando t=0.
  • Valor máximo:
\kappa(0)=\frac{2}{\bigl(1+4\cdot 0^{2}\bigr)^{3/2}}=\frac{2}{1^{3/2}}=2.
  • Coordenada do ponto na parábola correspondente a t=0:
\alpha(0)=\bigl(0,0^{2}\bigr)=(0,0).

Passo 6

Comentário didático final e alternativa rápida:
  • Intuição: ao longe ( |t| grande) a parábola fica “menos curva” (mais aberta), por isso \kappa(t) decresce com |t|. O pico de curvatura está no vértice da parábola, ponto em que ela dobra mais.
  • Alternativa curta (mesma resposta): para uma curva dada por y=f(x) com x como parâmetro, existe a fórmula
\kappa(x)=\frac{|f''(x)|}{\bigl(1+f'(x)^{2}\bigr)^{3/2}}.
Aqui f(x)=x^{2} f'(x)=2x, f''(x)=2 e retorna \kappa(x)=2/(1+4x^{2})^{3/2}, idêntico ao resultado obtido.

Resposta

\kappa(t)=\dfrac{2}{\bigl(1+4t^{2}\bigr)^{3/2}}
A curvatura é máxima em t=0, no ponto (0,0), com \kappa_{\max}=2.

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