x'(t) e y'(t) são as derivadas primeiras (velocidade da componente x e y).
x''(t) e y''(t) são as derivadas segundas (acelerações das componentes).
O numerador x'y''-y'x'' é o determinante das derivadas e mede a componente “normal” da aceleração — em termos geométricos, está relacionado à rapidez com que a direção da tangente muda.
O denominador \bigl(x'^{2}+y'^{2}\bigr)^{3/2} é o cubo da velocidade \|\alpha'(t)\|, garantindo que \kappa seja invariante por reparametrizações por velocidade.
A curvatura é sempre não-negativa por causa do valor absoluto; \kappa mede “o quanto” a curva dobra localmente. O raio de curvatura é R(t)=1/\kappa(t).
Passo 3
Calcular derivadas de x(t) e y(t).
Como x(t)=t, tem-se
x'(t)=1,\qquad x''(t)=0.
Como y(t)=t^{2}, tem-se
y'(t)=2t,\qquad y''(t)=2.
Mostrei cada derivada explicitamente para não pular etapas.
Coordenada do ponto na parábola correspondente a t=0:
\alpha(0)=\bigl(0,0^{2}\bigr)=(0,0).
Passo 6
Comentário didático final e alternativa rápida:
Intuição: ao longe (|t| grande) a parábola fica “menos curva” (mais aberta), por isso \kappa(t) decresce com |t|. O pico de curvatura está no vértice da parábola, ponto em que ela dobra mais.
Alternativa curta (mesma resposta): para uma curva dada por y=f(x) com x como parâmetro, existe a fórmula