- Mostre que se uma curva
está parametrizada pelo comprimento de arco, então o vetor aceleração
é sempre perpendicular ao vetor velocidade
.
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar que, se uma curva
está parametrizada pelo comprimento de arco, então o vetor aceleração
é sempre perpendicular ao vetor velocidade
.
Informações dadas:
- Há uma curva
dependente de um parâmetro . - O parâmetro
é o comprimento de arco (ou seja, a curva está parametrizada por comprimento de arco). - Pressupõe-se que
é suficientemente suave (pelo menos duas vezes diferenciável) para que e existam. - Objetivo: provar que para todo
vale é ortogonal a .
Passo 2
Entender o que significa “parametrizada pelo comprimento de arco” e traduzir isso em uma igualdade matemática que vamos usar.
Explicação didática:
- Para uma curva genérica
a velocidade vetorial é e o comprimento de arco entre dois parâmetros é obtido integrando a norma da velocidade. - Quando dizemos que o parâmetro
é o comprimento de arco, significa que a velocidade tem norma unitária em todo ponto: a rapidez (speed) é .
Em fórmulas, isso é:
Aqui
denota a norma Euclidiana do vetor.
Passo 3
Transformar a igualdade da norma em uma forma conveniente para diferenciar: escrevemos a norma ao quadrado usando o produto interno (produto escalar).
Explicação didática:
- A norma ao quadrado de um vetor
pode ser escrita como produto interno consigo mesmo: . - O produto interno
é a soma componente a componente , e significa que é perpendicular a .
Aplicando isso a
:
Passo 4
Diferenciar ambos os lados da igualdade da Passo 3 em relação a
e usar a regra do produto para o produto interno.
Explicação didática:
- A regra do produto para derivadas do produto interno funciona como a regra do produto escalar componente a componente; para uma família de vetores
vale
- Podemos provar rapidamente: escrevendo
e derivando, obtemos .
Aplicando com
:
Passo 5
Usar que o lado direito da igualdade da Passo 3 é constante (
), então sua derivada é zero, e concluir sobre o produto interno entre
e
.
Como
para todo
, temos
Pelo resultado do Passo 4:
Como
, segue
Passo 6
Interpretar o significado geométrico do resultado e dar um exemplo concreto para fixar a ideia.
Explicação didática:
- A igualdade
significa que é ortogonal a em cada ponto: . - Intuição: para uma curva parametrizada por comprimento de arco o vetor velocidade tem norma constante igual a
; sua direção pode mudar, mas não sua magnitude. A mudança de direção (derivada da velocidade) precisa ser perpendicular à velocidade, porque qualquer componente da aceleração na direção da velocidade alteraria a magnitude da velocidade (o que não acontece).
Exemplo concreto (ilustrativo):
- Considere a circunferência unitária parametrizada por comprimento de arco
. - Então
e . - O produto interno é
, confirmando a propriedade.