1. Mostre que se uma curva \alpha(s) está parametrizada pelo comprimento de arco, então o vetor aceleração \alpha^{\prime \prime}(s) é sempre perpendicular ao vetor velocidade \alpha^{\prime}(s).

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar que, se uma curva \alpha(s) está parametrizada pelo comprimento de arco, então o vetor aceleração \alpha''(s) é sempre perpendicular ao vetor velocidade \alpha'(s).
Informações dadas:
  • Há uma curva \alpha dependente de um parâmetro s.
  • O parâmetro s é o comprimento de arco (ou seja, a curva está parametrizada por comprimento de arco).
  • Pressupõe-se que \alpha é suficientemente suave (pelo menos duas vezes diferenciável) para que \alpha'(s) e \alpha''(s) existam.
  • Objetivo: provar que para todo s vale \alpha''(s) é ortogonal a \alpha'(s).

Passo 2

Entender o que significa “parametrizada pelo comprimento de arco” e traduzir isso em uma igualdade matemática que vamos usar.
Explicação didática:
  • Para uma curva genérica \alpha(t) a velocidade vetorial é \alpha'(t) e o comprimento de arco entre dois parâmetros é obtido integrando a norma da velocidade.
  • Quando dizemos que o parâmetro s é o comprimento de arco, significa que a velocidade tem norma unitária em todo ponto: a rapidez (speed) é 1.
Em fórmulas, isso é:
\|\alpha'(s)\| = 1 \quad\text{para todo } s.
Aqui \|\cdot\| denota a norma Euclidiana do vetor.

Passo 3

Transformar a igualdade da norma em uma forma conveniente para diferenciar: escrevemos a norma ao quadrado usando o produto interno (produto escalar).
Explicação didática:
  • A norma ao quadrado de um vetor v pode ser escrita como produto interno consigo mesmo: \|v\|^2 = \langle v, v\rangle.
  • O produto interno \langle u,v\rangle é a soma componente a componente u_1v_1+u_2v_2+\cdots, e \langle u,v\rangle=0 significa que u é perpendicular a v.
Aplicando isso a \alpha'(s):
\langle \alpha'(s),\alpha'(s)\rangle = 1.

Passo 4

Diferenciar ambos os lados da igualdade da Passo 3 em relação a s e usar a regra do produto para o produto interno.
Explicação didática:
  • A regra do produto para derivadas do produto interno funciona como a regra do produto escalar componente a componente; para uma família de vetores v(s) vale
\frac{d}{ds}\langle v(s),v(s)\rangle = 2\langle v'(s),v(s)\rangle.
  • Podemos provar rapidamente: escrevendo \langle v,v\rangle=\sum_i v_i^2 e derivando, obtemos 2\sum_i v_i v_i' = 2\langle v',v\rangle.
Aplicando com v(s)=\alpha'(s):
\frac{d}{ds}\langle \alpha'(s),\alpha'(s)\rangle = 2\langle \alpha''(s),\alpha'(s)\rangle.

Passo 5

Usar que o lado direito da igualdade da Passo 3 é constante ( 1), então sua derivada é zero, e concluir sobre o produto interno entre \alpha'' e \alpha'.
Como \langle \alpha'(s),\alpha'(s)\rangle = 1 para todo s, temos
\frac{d}{ds}\langle \alpha'(s),\alpha'(s)\rangle = \frac{d}{ds} 1 = 0.
Pelo resultado do Passo 4:
2\langle \alpha''(s),\alpha'(s)\rangle = 0.
Como 2\neq 0, segue
\langle \alpha''(s),\alpha'(s)\rangle = 0.

Passo 6

Interpretar o significado geométrico do resultado e dar um exemplo concreto para fixar a ideia.
Explicação didática:
  • A igualdade \langle \alpha''(s),\alpha'(s)\rangle=0 significa que \alpha''(s) é ortogonal a \alpha'(s) em cada ponto: \alpha''(s)\perp\alpha'(s).
  • Intuição: para uma curva parametrizada por comprimento de arco o vetor velocidade tem norma constante igual a 1; sua direção pode mudar, mas não sua magnitude. A mudança de direção (derivada da velocidade) precisa ser perpendicular à velocidade, porque qualquer componente da aceleração na direção da velocidade alteraria a magnitude da velocidade (o que não acontece).
Exemplo concreto (ilustrativo):
  • Considere a circunferência unitária parametrizada por comprimento de arco \alpha(s)=(\cos s,\sin s).
  • Então \alpha'(s)=(-\sin s,\cos s) e \alpha''(s)=(-\cos s,-\sin s).
  • O produto interno é \langle \alpha''(s),\alpha'(s)\rangle = (-\cos s)(-\sin s)+(-\sin s)(\cos s)=0, confirmando a propriedade.

Resposta

\langle \alpha''(s),\alpha'(s)\rangle = 0

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