1. Determine o vetor tangente da ciclóide \alpha(t)=(t-\sin t, 1-\cos t) e identifique os pontos onde a velocidade se anula.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Determinar o vetor tangente da ciclóide \alpha(t)=(t-\sin t,\;1-\cos t).
  • Identificar os pontos (valores de t e coordenadas no plano) onde a velocidade se anula (isto é, onde o vetor velocidade/tangente é o vetor nulo).
Informações dadas:
  • A curva é \alpha(t)=(t-\sin t,\;1-\cos t), definida para t\in\mathbb{R} (padrão para uma ciclóide).
  • Não há restrição adicional de domínio no enunciado.

Passo 2

O que é o “vetor tangente” neste contexto? Para uma curva parametrizada \alpha(t)=(x(t),y(t)), o vetor tangente (ou vetor velocidade) é a derivada componente a componente:
\alpha'(t)=(x'(t),y'(t)).
Explicando as regras de derivação que vamos usar:
  • A derivada de t em relação a t é 1.
  • A derivada de \sin t é \cos t.
  • A derivada de \cos t é -\sin t.
  • A soma e diferença de funções derivam componente a componente.
Agora derivamos as componentes de \alpha(t):
a) Para x(t)=t-\sin t temos
x'(t)=\frac{d}{dt}(t)-\frac{d}{dt}(\sin t)=1-\cos t.
b) Para y(t)=1-\cos t temos
y'(t)=\frac{d}{dt}(1)-\frac{d}{dt}(\cos t)=0-(-\sin t)=\sin t.
Portanto o vetor tangente (vetor velocidade) é
\alpha'(t)=\bigl(1-\cos t,\;\sin t\bigr).

Passo 3

Vamos estudar a velocidade (módulo do vetor velocidade) porque isso ajuda a localizar onde ela zera. O módulo (norma) de \alpha'(t) é
\|\alpha'(t)\|=\sqrt{(1-\cos t)^2+\sin^2 t}.
Vamos simplificar essa expressão passo a passo:
(1-\cos t)^2+\sin^2 t = 1 -2\cos t +\cos^2 t +\sin^2 t.
Como \cos^2 t+\sin^2 t=1, obtemos
1 -2\cos t +\cos^2 t +\sin^2 t = 1 -2\cos t +1 = 2-2\cos t.
Usando a identidade trigonométrica 1-\cos t = 2\sin^2\!\left(\dfrac{t}{2}\right) (ou a forma equivalente 2-2\cos t=4\sin^2\!\left(\dfrac{t}{2}\right)), concluímos
\|\alpha'(t)\|=\sqrt{4\sin^2\!\left(\dfrac{t}{2}\right)} = 2\left|\sin\!\left(\dfrac{t}{2}\right)\right|.
Observação: o valor absoluto aparece porque a raiz quadrada devolve sempre um número não negativo.

Passo 4

Quando a velocidade se anula? A velocidade zera exatamente quando \|\alpha'(t)\|=0. Pela fórmula anterior isso ocorre quando
2\left|\sin\!\left(\dfrac{t}{2}\right)\right|=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \sin\!\left(\dfrac{t}{2}\right)=0.
As soluções de \sin\!\left(\dfrac{t}{2}\right)=0 são
\frac{t}{2}=k\pi\quad\text{com }k\in\mathbb{Z},
ou seja
t=2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Também podemos ver isso diretamente exigindo que ambas as componentes do vetor velocidade sejam zero:
1-\cos t=0\quad\text{e}\quad \sin t=0.
Da primeira equação vem \cos t=1 que dá t=2k\pi; isso também satisfaz \sin t=0. Então as soluções coincidem: t=2k\pi.

Passo 5

Agora vamos dar as coordenadas dos pontos correspondentes na curva. Para t=2k\pi,
\alpha(2k\pi)=\bigl(2k\pi-\sin(2k\pi),\;1-\cos(2k\pi)\bigr).
Como \sin(2k\pi)=0 e \cos(2k\pi)=1, obtemos
\alpha(2k\pi)=(2k\pi,\;0).
Portanto os pontos onde a velocidade se anula são todos os pontos (2k\pi,0) com k\in\mathbb{Z}.
Geometricamente: esses são os “cúspides” da ciclóide, onde a curva toca o eixo x e há uma mudança de sentido instantânea do ramo — por isso a velocidade vetorial é nula.

Passo 6

Comentário prático para prova (dica amiga): quando te pedirem o vetor tangente de uma curva dada por componentes, deriva-se componente a componente. Para saber onde a velocidade zera verifique onde ambas as componentes da derivada são zero ao mesmo tempo; frequentemente simplificar o módulo da velocidade com identidades trigonométricas (como 1-\cos t=2\sin^2(t/2)) facilita encontrar as soluções.

Resposta

\displaystyle \alpha'(t)=\bigl(1-\cos t,\;\sin t\bigr)
\displaystyle\text{A velocidade se anula para }t=2k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}\text{, nos pontos }(2k\pi,\,0).

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