- Determine uma parametrização pelo comprimento de arco para a reta
.
Passo 1
O enunciado dá a reta parametrizada por
, onde
são constantes reais, e pede uma parametrização pelo comprimento de arco.
O que é pedido, em palavras claras: encontrar uma parametrização da mesma reta tal que o parâmetro
seja o comprimento de arco (isto é,
para todo
no domínio).
Informações relevantes fornecidas:
O que é pedido, em palavras claras: encontrar uma parametrização
Informações relevantes fornecidas:
- A função original é
. - As constantes
e determinam a direção da reta; se a curva é um ponto (caso degenerado). - O objetivo é reparametrizar por
(o comprimento de arco).
Passo 2
Calcular a velocidade da parametrização dada: derivando componente a componente, obtemos
A norma (velocidade escalar, sempre não negativa) é constante porque as componentes são constantes:
Explicando: a velocidade é o comprimento do vetor derivada. Como a reta é representada por uma função afim em
, a derivada é um vetor constante
e sua norma é a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes.
Passo 3
Definir a função comprimento de arco
(a partir de um ponto base
). Por definição,
Como
é constante, a integral é simples:
Comentário:
é o valor de
escolhido para dar ao comprimento de arco o valor zero; a escolha mais comum é
, mas mantemos
por enquanto para maior generalidade.
Passo 4
Inverter
para obter
em função de
. Supondo
(ou seja,
e
não são ambos zero),
Agora substitui-se na parametrização original para obter a nova parametrização
. Assim,
Desenvolvendo os termos,
Passo 5
Verificar que
é realmente comprimento de arco (isto é,
). Derivando
em relação a
,
Calcular a norma:
Portanto
é uma parametrização por comprimento de arco (unit-speed).
Passo 6
Escolha prática e caso degenerado. É comum escolher
, o que simplifica a fórmula para
Caso degenerado: se
, então
é um ponto. Nesse caso o comprimento de arco entre quaisquer parâmetros é sempre
; não existe uma parametrização regular por comprimento de arco não-constante. A única “parametrização” por
que faz sentido é a constante
para todo
, cuja derivada é zero (não é unitária).
Resposta
Para
:
Se desejar incluir um ponto base
com
:
Para o caso degenerado
: