1. Determine uma parametrização pelo comprimento de arco para a reta \alpha(t)=(a t+b, c t+d).

Passo 1

O enunciado dá a reta parametrizada por \alpha(t) = (a t + b,\; c t + d), onde a,b,c,d são constantes reais, e pede uma parametrização pelo comprimento de arco.
O que é pedido, em palavras claras: encontrar uma parametrização \beta(s) da mesma reta tal que o parâmetro s seja o comprimento de arco (isto é, \|\beta'(s)\| = 1 para todo s no domínio).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função original é \alpha(t) = (a t + b,\; c t + d).
  • As constantes a e c determinam a direção da reta; se a=c=0 a curva é um ponto (caso degenerado).
  • O objetivo é reparametrizar por s (o comprimento de arco).

Passo 2

Calcular a velocidade da parametrização dada: derivando componente a componente, obtemos
\alpha'(t) = (a,\; c).
A norma (velocidade escalar, sempre não negativa) é constante porque as componentes são constantes:
\|\alpha'(t)\| = \sqrt{a^2 + c^2}.
Explicando: a velocidade é o comprimento do vetor derivada. Como a reta é representada por uma função afim em t, a derivada é um vetor constante (a,c) e sua norma é a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes.

Passo 3

Definir a função comprimento de arco s(t) (a partir de um ponto base t_0). Por definição,
s(t) = \int_{t_0}^{t} \|\alpha'(u)\|\,du.
Como \|\alpha'(u)\| = \sqrt{a^2+c^2} é constante, a integral é simples:
s(t) = \sqrt{a^2+c^2}\,(t - t_0).
Comentário: t_0 é o valor de t escolhido para dar ao comprimento de arco o valor zero; a escolha mais comum é t_0=0, mas mantemos t_0 por enquanto para maior generalidade.

Passo 4

Inverter s(t) para obter t em função de s. Supondo \sqrt{a^2+c^2}\neq 0 (ou seja, a e c não são ambos zero),
t = t_0 + \frac{s}{\sqrt{a^2+c^2}}.
Agora substitui-se na parametrização original para obter a nova parametrização \beta(s) = \alpha(t(s)). Assim,
\beta(s)=\bigl(a\bigl(t_0+\tfrac{s}{\sqrt{a^2+c^2}}\bigr)+b,\; c\bigl(t_0+\tfrac{s}{\sqrt{a^2+c^2}}\bigr)+d\bigr).
Desenvolvendo os termos,
\beta(s)=\bigl(a t_0 + b + \tfrac{a}{\sqrt{a^2+c^2}}\,s,\; c t_0 + d + \tfrac{c}{\sqrt{a^2+c^2}}\,s\bigr).

Passo 5

Verificar que s é realmente comprimento de arco (isto é, \|\beta'(s)\|=1). Derivando \beta(s) em relação a s,
\beta'(s)=\Bigl(\tfrac{a}{\sqrt{a^2+c^2}},\; \tfrac{c}{\sqrt{a^2+c^2}}\Bigr).
Calcular a norma:
\|\beta'(s)\|=\sqrt{\Bigl(\tfrac{a}{\sqrt{a^2+c^2}}\Bigr)^2+\Bigl(\tfrac{c}{\sqrt{a^2+c^2}}\Bigr)^2} =\sqrt{\tfrac{a^2+c^2}{a^2+c^2}}=1.
Portanto \beta(s) é uma parametrização por comprimento de arco (unit-speed).

Passo 6

Escolha prática e caso degenerado. É comum escolher t_0=0, o que simplifica a fórmula para
\beta(s)=\bigl(b + \tfrac{a}{\sqrt{a^2+c^2}}\,s,\; d + \tfrac{c}{\sqrt{a^2+c^2}}\,s\bigr).
Caso degenerado: se a=c=0, então \alpha(t)=(b,d) é um ponto. Nesse caso o comprimento de arco entre quaisquer parâmetros é sempre 0; não existe uma parametrização regular por comprimento de arco não-constante. A única “parametrização” por s que faz sentido é a constante \beta(s)=(b,d) para todo s, cuja derivada é zero (não é unitária).

Resposta

Para a^2+c^2\neq 0:
\beta(s)=\bigl(b + \tfrac{a}{\sqrt{a^2+c^2}}\,s,\; d + \tfrac{c}{\sqrt{a^2+c^2}}\,s\bigr).
Se desejar incluir um ponto base t_0 com s(t_0)=0:
\beta(s)=\bigl(a t_0 + b + \tfrac{a}{\sqrt{a^2+c^2}}\,s,\; c t_0 + d + \tfrac{c}{\sqrt{a^2+c^2}}\,s\bigr).
Para o caso degenerado a=c=0:
\beta(s)=(b,d)\quad\text{(constante; não é uma parametrização regular por comprimento de arco).}ãéçã

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