Calcule a curvatura média e gaussiana de um paraboloide hiperbólico , busenh no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a curvatura média e a curvatura gaussiana de um paraboloide hiperbólico dado pela parametrização:
E queremos encontrar esses valores no ponto . Para isso, vamos precisar entender um pouco de geometria diferencial, principalmente sobre como calcular essas curvaturas usando as formas fundamentais da superfície.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar os parâmetros [u) e que correspondem ao ponto . Vamos igualar as coordenadas da parametrização ao ponto dado:
Da segunda equação, ou . Como nos daria , que não é o caso, então , o que implica que .
Substituindo na primeira equação:
Então, os parâmetros correspondentes ao ponto são e .
Passo 3
Agora, vamos calcular os vetores tangentes à superfície, que são as derivadas parciais de X(u, v) em relação a u e v :
Xu = partial Xpartial u = (a cosh v, , b sinh v, , 2u)
Xv = partial Xpartial v = (a u sinh v, , b u cosh v, , 0)
No ponto (u, v) = (5a, 0) , substituindo:
Xu = (a cdot 1, , b cdot 0, , 2 cdot 5a) = (a, 0, 10a)
Xv = (a cdot 5a cdot 0, , b cdot 5a cdot 1, , 0) = (0, 5ba, 0)
Passo 4
Em seguida, calculamos o vetor normal à superfície usando o produto vetorial dos vetores tangentes:
N = Xu times Xv
Calculando o produto vetorial:
N = i & j & k a & 0 & 10a 0 & 5ba & 0 = (0 cdot 0 - 10a cdot 5ba) i - (a cdot 0 - 10a cdot 0) j + (a cdot 5ba - 0 cdot 0) k
Simplificando:
N = (-50ba^2, , 0, , 5b)
Para obter o vetor normal unitário, normalizamos N :