Calcule a curvatura média e gaussiana de um paraboloide hiperbólico
X(u, v)=(a u cosh v, busenh v, u^2) no ponto q=(5,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a curvatura média e a curvatura gaussiana de um paraboloide hiperbólico dado pela parametrização:
X(u, v) = (a u cosh v, , b u sinh v, , u^2)
E queremos encontrar esses valores no ponto q = (5, 0) . Para isso, vamos precisar entender um pouco de geometria diferencial, principalmente sobre como calcular essas curvaturas usando as formas fundamentais da superfície.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os parâmetros [u) e que correspondem ao ponto . Vamos igualar as coordenadas da parametrização ao ponto dado:
ãé
Da segunda equação, ou . Como nos daria , que não é o caso, então , o que implica que .
Substituindo na primeira equação:
Então, os parâmetros correspondentes ao ponto são e .

Passo 3

Agora, vamos calcular os vetores tangentes à superfície, que são as derivadas parciais de X(u, v) em relação a u e v :
Xu = partial Xpartial u = (a cosh v, , b sinh v, , 2u)
Xv = partial Xpartial v = (a u sinh v, , b u cosh v, , 0)
No ponto (u, v) = (5a, 0) , substituindo:
Xu = (a cdot 1, , b cdot 0, , 2 cdot 5a) = (a, 0, 10a)
Xv = (a cdot 5a cdot 0, , b cdot 5a cdot 1, , 0) = (0, 5ba, 0)

Passo 4

Em seguida, calculamos o vetor normal à superfície usando o produto vetorial dos vetores tangentes:
N = Xu times Xv
Calculando o produto vetorial:
N = i & j & k a & 0 & 10a 0 & 5ba & 0 = (0 cdot 0 - 10a cdot 5ba) i - (a cdot 0 - 10a cdot 0) j + (a cdot 5ba - 0 cdot 0) k
Simplificando:
N = (-50ba^2, , 0, , 5b)
Para obter o vetor normal unitário, normalizamos N :
|N| = raiz(-50ba^2)^2 + 0^2 + (5b)^2 = raiz2500b^2a^4 + 25b^2 = 5ba^2 raiz100 + a^4
Então, o vetor normal unitário é:
n = N|N| = ( -50ba^2 div 5ba^2 raiz100 + a^4, , 0, , 5b5ba^2 raiz100 + a^4 ) = ( -10raiz100 + a^4, , 0, , a^2raiz100 + a^4 )

Passo 5

Agora, vamos calcular as derivadas de segunda ordem necessárias para as formas fundamentais. Primeiro, calculamos as segundas derivadas de X(u, v) :
Xuu = partial^2 Xpartial u^2 = (0, , 0, , 2)
Xuv = partial^2 Xpartial u partial v = (a sinh v, , b cosh v, , 0)
Xvv = partial^2 Xpartial v^2 = (a u cosh v, , b u sinh v, , 0)
No ponto (5a, 0) :
Xuu = (0, 0, 2)
Xuv = (a cdot 0, , b cdot 1, , 0) = (0, b, 0)
Xvv = (a cdot 5a cdot 1, , b cdot 5a cdot 0, , 0) = (5, 0, 0)

Passo 6

Agora, calculamos os coeficientes da segunda forma fundamental L, M, N usando o produto escalar das segundas derivadas com o vetor normal unitário n :
L = Xuu cdot n = (0, 0, 2) cdot ( -10raiz100 + a^4, , 0, , a^2raiz100 + a^4 ) = 0 + 0 + 2 cdot a^2raiz100 + a^4 = 2a^2raiz100 + a^4
M = Xuv cdot n = (0, b, 0) cdot ( -10raiz100 + a^4, , 0, , a^2raiz100 + a^4 ) = 0 + b cdot 0 + 0 = 0
N = Xvv cdot n = (5, 0, 0) cdot ( -10raiz100 + a^4, , 0, , a^2raiz100 + a^4 ) = 5 cdot (-10raiz100 + a^4) + 0 + 0 = -50raiz100 + a^4

Passo 7

Agora, precisamos calcular os coeficientes da primeira forma fundamental E, F, G , que são obtidos pelos produtos escalares dos vetores tangentes:
E = Xu cdot Xu = a^2 + 0 + (10a)^2 = a^2 + 100a^2
F = Xu cdot Xv = a cdot 0 + 0 cdot 5ba + 10a cdot 0 = 0
G = Xv cdot Xv = 0 + (5ba)^2 + 0 = 25b^2a^2

Passo 8

Com os coeficientes das formas fundamentais, podemos calcular a curvatura gaussiana (K) e a curvatura média (H) usando as fórmulas:
Substituindo os valores que encontramos:
Portanto,
Para a curvatura média:

Resposta

Portanto, no ponto q = (5, 0) , as curvaturas são:
Curvatura Gaussiana (K) = -4a^6b^2(a^4 + 100)^2
Curvatura Média (H) = -a^4 - 10000 + a^4b^2b^2(a^4 + 100)^3/2 é

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