Considere o operador linear L: R^3 R^3 dado por L(lx y z)=(lll1 & 0 & 1 1 & 1 & 2 2 & 1 & 3)(lx y z).
Avalie as afirmações abaixo em V (verdadeiro) ou F (falso):
dim Im(T)=3.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear L:R^3toR^3 representado pela matriz
A = 1 & 0 & 1 1 & 1 & 2 2 & 1 & 3
e pergunta se diml(Im(L)r)=3. Para responder, vamos calcular o posto (rank) de A, já que dim(Im(L))=rank(A).

Passo 2

Para ver se o posto é 3, calculamos o determinante de A. Se det(A)neq0, o posto seria 3; caso contrário, é menor que 3.
det(A) =1cdotdet1&21&3 -0cdotdet1&22&3 +1cdotdet1&12&1
=1,(1cdot3-2cdot1)+1,(1cdot1-1cdot2) = (3-2)+(1-2) =1-1 =0
Como det(A)=0, a matriz não é invertível e seu posto é menor que 3.

Passo 3

Para achar o posto exato, fazemos redução por linhas em A:
1 & 0 & 1 1 & 1 & 2 2 & 1 & 3 stackrelL2to L2-L1longrightarrow 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 2 & 1 & 3 stackrelL3to L3-2L1longrightarrow 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 0 & 1 & 1 stackrelL3to L3-L2longrightarrow 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0
Há duas linhas não nulas, logo rank(A)=2.

Passo 4

Concluímos que
diml(Im(L)r) =rank(A) =2neq3
Portanto, a afirmação é falsa.

Resposta

F

Exercícios relacionados