Determinar a posiçåo relativa das retas e , sua intersecåo (caso exista) e o angulo entre elas.
Passo 1
O enunciado pede a posição relativa das retas r1 e r2 no espaço, verificar se elas se intersectam e, em caso afirmativo, determinar o ponto de interseção e o ângulo theta entre elas. Vamos usar parametrizações, vetores diretores, condição de paralelismo, solução de sistema para intersecção e a fórmula do cosseno do ângulo entre vetores.
Passo 2
Escrevemos cada reta em forma paramétrica para identificar um ponto e seu vetor diretor. Para
tomamos o parâmetro
Isso fornece o ponto e o vetor diretor
Para
o ponto base é (B=(7,2,1)] e o vetor diretor
Passo 3
Para r1 e r2 serem paralelas, deveríamos ter (2,-3,4)=lambda(3,2,-2) para algum lambda. As razões
23, -32, 4-2
são todas distintas, logo não existe lambda comum. Concluímos que as retas não são paralelas.
Passo 4
Procuramos interseção igualando as três coordenadas de
Da segunda e da terceira equações vem diretamente , que satisfazem também a primeira. Substituindo em (ou ) obtemos o ponto de interseção
Passo 5
O ângulo theta entre as retas é o mesmo entre os vetores diretores v1 e v2. Calculamos primeiro o produto escalar e as normas: