Determinar a posiçåo relativa das retas r1 e r2, sua intersecåo (caso exista) e o angulo theta entre elas.
r1: x-12=y+2-3=z-54 e r2=ll x= & 7+3 t y= & 2+2 t z= & 1-2 t

Passo 1

O enunciado pede a posição relativa das retas r1 e r2 no espaço, verificar se elas se intersectam e, em caso afirmativo, determinar o ponto de interseção e o ângulo theta entre elas. Vamos usar parametrizações, vetores diretores, condição de paralelismo, solução de sistema para intersecção e a fórmula do cosseno do ângulo entre vetores.

Passo 2

Escrevemos cada reta em forma paramétrica para identificar um ponto e seu vetor diretor. Para
tomamos o parâmetro
Isso fornece o ponto e o vetor diretor
Para
o ponto base é (B=(7,2,1)] e o vetor diretor

Passo 3

Para r1 e r2 serem paralelas, deveríamos ter (2,-3,4)=lambda(3,2,-2) para algum lambda. As razões
23, -32, 4-2
são todas distintas, logo não existe lambda comum. Concluímos que as retas não são paralelas.

Passo 4

Procuramos interseção igualando as três coordenadas de
Da segunda e da terceira equações vem diretamente , que satisfazem também a primeira. Substituindo em (ou ) obtemos o ponto de interseção

Passo 5

O ângulo theta entre as retas é o mesmo entre os vetores diretores v1 e v2. Calculamos primeiro o produto escalar e as normas:
v1cdot v2 = 2cdot3 + (-3)cdot2 + 4cdot(-2) = -8,
|v1| = raiz2^2+(-3)^2+4^2 = raiz29, |v2| = raiz3^2+2^2+(-2)^2 = raiz17
O menor ângulo entre as retas satisfaz
theta = arccos!l(|v1cdot v2||v1||v2|r) = arccos!l(8raiz29cdot17r) = arccos!l(8raiz493r) approx 68,9^circ

Resposta

As retas r1 e r2 não são paralelas e se intersectam no ponto
P=(1,-2,5)
O ângulo agudo entre elas é
theta = arccos!l(tfrac8raiz493r)approx68,9^circ

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