Determine se os conjuntos são ou não espaços vetoriais
com as operações
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente descobrir se o conjunto
com as operações de adição e multiplicação por escalar dadas, é ou não um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar lembrar dos conceitos de espaços vetoriais e verificar se
satisfaz todos os requisitos necessários.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores que, além de existir a operação de adição e a de multiplicação por escalar, satisfaz oito propriedades chamadas axiomas, como:
- Fechamento na adição
- Comutatividade da adição
- Associatividade da adição
- Existência do vetor zero
- Existência de inversos aditivos
- Fechamento na multiplicação por escalar
- Distribuição da multiplicação em relação à adição de vetores
- Distribuição da multiplicação em relação à adição de escalares
Hoje vamos focar em alguns desses axiomas para ver se o conjunto
se comporta como um espaço vetorial.
Passo 3
Vamos começar verificando se existe o vetor zero em
. O vetor zero é aquele que, quando somado a qualquer vetor do espaço, não altera o vetor original. No caso de
, qualquer vetor tem a forma
. O vetor zero num espaço vetorial de três dimensões seria
.
Passo 4
Para
estar em
, ele precisaria ter a forma
. Mas olhando para isso, percebemos que o primeiro componente deveria ser 1 e o terceiro componente seria 2, não 0. Ou seja,
não pertence a
.
Passo 5
Como o vetor zero não está presente em
, isso já viola um dos axiomas fundamentais de um espaço vetorial. Sem o vetor zero,
não consegue satisfazer todos os requisitos para ser considerado um espaço vetorial.
Resposta
Portanto, o conjunto
não é um espaço vetorial.