Determine se os conjuntos são ou não espaços vetoriais
V=(1, x, 2) tal que x in R com as operações
(1, x1, 2)+(1, x2, 2)=(1, x1+x2, 2) e lambda(1, x, 2)=(1, lambda x, 2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente descobrir se o conjunto V = (1, x, 2) mid x in R com as operações de adição e multiplicação por escalar dadas, é ou não um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar lembrar dos conceitos de espaços vetoriais e verificar se V satisfaz todos os requisitos necessários.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores que, além de existir a operação de adição e a de multiplicação por escalar, satisfaz oito propriedades chamadas axiomas, como:
  1. Fechamento na adição
  2. Comutatividade da adição
  3. Associatividade da adição
  4. Existência do vetor zero
  5. Existência de inversos aditivos
  6. Fechamento na multiplicação por escalar
  7. Distribuição da multiplicação em relação à adição de vetores
  8. Distribuição da multiplicação em relação à adição de escalares
Hoje vamos focar em alguns desses axiomas para ver se o conjunto V se comporta como um espaço vetorial.

Passo 3

Vamos começar verificando se existe o vetor zero em V . O vetor zero é aquele que, quando somado a qualquer vetor do espaço, não altera o vetor original. No caso de V , qualquer vetor tem a forma (1, x, 2) . O vetor zero num espaço vetorial de três dimensões seria (0, 0, 0) .

Passo 4

Para (0, 0, 0) estar em V , ele precisaria ter a forma (1, x, 2) . Mas olhando para isso, percebemos que o primeiro componente deveria ser 1 e o terceiro componente seria 2, não 0. Ou seja, (0, 0, 0) não pertence a V .

Passo 5

Como o vetor zero não está presente em V , isso já viola um dos axiomas fundamentais de um espaço vetorial. Sem o vetor zero, V não consegue satisfazer todos os requisitos para ser considerado um espaço vetorial.

Resposta

Portanto, o conjunto V = (1, x, 2) mid x in R não é um espaço vetorial.

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