Calcule a curvatura e a torção das seguintes curvas:
\alpha(t)=\left(t, t^{2}, t^{3}\right)
(b) \lambda(t)=(t, \operatorname{cosh} (t), \operatorname{sinh} (t))

Passo 1

O enunciado dá duas curvas paramétricas em \mathbb{R}^3 e pede, para cada uma, a curvatura e a torção como funções do parâmetro t.
As curvas são:
  • (a) \alpha(t)=\left(t,\;t^{2},\;t^{3}\right).
  • (b) \lambda(t)=\left(t,\;\operatorname{cosh} t,\;\operatorname{sinh} t\right).
O que se pede:
  • Para cada curva encontrar \kappa(t) (curvatura) e \tau(t) (torção).

Passo 2

Primeiro apresento as fórmulas que vou usar (explicadas de forma direta e intuitiva).
  • Notação: para uma curva \beta(t) denota-se \beta'(t), \beta''(t), \beta'''(t) as derivadas sucessivas em relação a t. A norma eu escrevo \|\cdot\|. O produto vetorial é \times e o produto escalar é \cdot.
  • Curvatura \kappa(t) (medida de quanto a curva “vira” localmente) para uma curva regular em \mathbb{R}^3 é dada por
\kappa(t)=\frac{\|\beta'(t)\times\beta''(t)\|}{\|\beta'(t)\|^{3}}.
Explicação rápida: \beta' é o vetor tangente, \beta'' mede a variação do tangente; o produto vetorial \beta'\times\beta'' dá um vetor perpendicular cuja norma é a área do paralelogramo formado por \beta' e \beta''. Dividindo por \|\beta'\|^{3} obtém-se uma quantidade adimensional que mede a curvatura geométrica.
  • Torção \tau(t) (medida do quanto a curva “sai” do plano osculador, isto é, de quanto ela gira tridimensionalmente) é dada por
\tau(t)=\frac{(\beta'(t)\times\beta''(t))\cdot \beta'''(t)}{\|\beta'(t)\times\beta''(t)\|^{2}}.
Explicação rápida: o numerador é o produto misto (triple product) que mede a componente de \beta''' na direção de \beta'\times\beta''; dividindo pela norma ao quadrado obtém-se a taxa de torção.
Agora aplico essas fórmulas a cada curva, calculando passo a passo \beta',\beta'',\beta''', o produto vetorial, normas e finalmente \kappa e \tau.

Passo 3

Começando por (a) \alpha(t)=\big(t,t^{2},t^{3}\big). Calculo as derivadas:
\alpha'(t)=\big(1,\;2t,\;3t^{2}\big), \quad \alpha''(t)=\big(0,\;2,\;6t\big), \quad \alpha'''(t)=\big(0,\;0,\;6\big).
(ou seja: derivar componente a componente; por exemplo \tfrac{d}{dt}t^{3}=3t^{2}, \tfrac{d}{dt}(3t^{2})=6t etc.)

Passo 4

Calculo o produto vetorial \alpha'(t)\times\alpha''(t). Usando a expressão do determinante:
\alpha'(t)\times\alpha''(t)= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 1 & 2t & 3t^{2}\\[4pt] 0 & 2 & 6t \end{vmatrix}.
Calculando componente a componente:
  • componente \mathbf{i}: 2t\cdot 6t - 3t^{2}\cdot 2 = 12t^{2}-6t^{2}=6t^{2}.
  • componente \mathbf{j}: com sinal negativo: -(1\cdot 6t - 3t^{2}\cdot 0) = -6t.
  • componente \mathbf{k}: 1\cdot 2 - 2t\cdot 0 = 2.
Portanto
\alpha'(t)\times\alpha''(t)=\big(6t^{2},\;-6t,\;2\big).]

Passo 5

Calculo a norma de \alpha'(t)\times\alpha''(t) e a norma de \alpha'(t):
\|\alpha'(t)\times\alpha''(t)\|^{2}=(6t^{2})^{2}+(-6t)^{2}+2^{2}=36t^{4}+36t^{2}+4.
Logo
\|\alpha'(t)\times\alpha''(t)\|=\sqrt{36t^{4}+36t^{2}+4}=2\sqrt{9t^{4}+9t^{2}+1}.
A norma de \alpha'(t) é
\|\alpha'(t)\|^{2}=1+(2t)^{2}+(3t^{2})^{2}=1+4t^{2}+9t^{4},
logo
\|\alpha'(t)\|=\sqrt{1+4t^{2}+9t^{4}}.

Passo 6

Agora aplico a fórmula da curvatura para \alpha:
\kappa_{\alpha}(t)=\frac{\|\alpha'\times\alpha''\|}{\|\alpha'\|^{3}} = \frac{2\sqrt{9t^{4}+9t^{2}+1}}{\big(1+4t^{2}+9t^{4}\big)^{3/2}}.
(Outra forma equivalente é \kappa_{\alpha}(t)=\dfrac{\sqrt{36t^{4}+36t^{2}+4}}{\big(1+4t^{2}+9t^{4}\big)^{3/2}}.)

Passo 7

Calculo a torção \tau_{\alpha}(t) usando a fórmula com \alpha'''. Primeiro o produto escalar do produto vetorial com \alpha''':
(\alpha'\times\alpha'')\cdot \alpha''' = (6t^{2},-6t,2)\cdot(0,0,6) = 6t^{2}\cdot 0 + (-6t)\cdot 0 + 2\cdot 6 = 12.
Já tínhamos \|\alpha'\times\alpha''\|^{2}=36t^{4}+36t^{2}+4. Assim
\tau_{\alpha}(t)=\frac{12}{36t^{4}+36t^{2}+4}=\frac{3}{9t^{4}+9t^{2}+1}.

Passo 8

Agora passo para (b) \lambda(t)=(t,\operatorname{cosh} t,\operatorname{sinh} t). Calculo as derivadas:
\lambda'(t)=\big(1,\;\operatorname{sinh} t,\;\operatorname{cosh} t\big), \quad \lambda''(t)=\big(0,\;\operatorname{cosh} t,\;\operatorname{sinh} t\big), \quad \lambda'''(t)=\big(0,\;\operatorname{sinh} t,\;\operatorname{cosh} t\big).
(Lembrando que \tfrac{d}{dt}\operatorname{cosh} t=\operatorname{sinh} t e \tfrac{d}{dt}\operatorname{sinh} t=\operatorname{cosh} t.)

Passo 9

Calculo o produto vetorial \lambda'(t)\times\lambda''(t):
\lambda'(t)\times\lambda''(t)= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 1 & \operatorname{sinh} t & \operatorname{cosh} t\\[4pt] 0 & \operatorname{cosh} t & \operatorname{sinh} t \end{vmatrix}.
Componentes:
  • \mathbf{i}: \operatorname{sinh} t\cdot\operatorname{sinh} t - \operatorname{cosh} t\cdot\operatorname{cosh} t = \operatorname{sinh}^{2}t - \operatorname{cosh}^{2}t = -1 (pois \operatorname{cosh}^{2}t-\operatorname{sinh}^{2}t=1).
  • \mathbf{j}: com sinal negativo: -(1\cdot \operatorname{sinh} t - \operatorname{cosh} t\cdot 0) = -\operatorname{sinh} t.
  • \mathbf{k}: 1\cdot\operatorname{cosh} t - \operatorname{sinh} t\cdot 0 = \operatorname{cosh} t.
Portanto
\lambda'(t)\times\lambda''(t)=\big(-1,\;-\operatorname{sinh} t,\;\operatorname{cosh} t\big).]

Passo 10

Calculo as normas necessárias. Primeiro a norma ao quadrado do produto vetorial:
\|\lambda'\times\lambda''\|^{2}=(-1)^{2}+(-\operatorname{sinh} t)^{2}+(\operatorname{cosh} t)^{2}=1+\operatorname{sinh}^{2}t+\operatorname{cosh}^{2}t.
Usando \operatorname{cosh}^{2}t=1+\operatorname{sinh}^{2}t temos
\|\lambda'\times\lambda''\|^{2}=1+\operatorname{sinh}^{2}t+(1+\operatorname{sinh}^{2}t)=2+2\operatorname{sinh}^{2}t=2\operatorname{cosh}^{2}t.
Logo
\|\lambda'\times\lambda''\|=\sqrt{2}\,\operatorname{cosh} t.
Também
\|\lambda'(t)\|^{2}=1+\operatorname{sinh}^{2}t+\operatorname{cosh}^{2}t=2\operatorname{cosh}^{2}t, \qquad \|\lambda'(t)\|=\sqrt{2}\,\operatorname{cosh} t.

Passo 11

Agora a curvatura de \lambda:
\kappa_{\lambda}(t)=\frac{\|\lambda'\times\lambda''\|}{\|\lambda'\|^{3}} =\frac{\sqrt{2}\operatorname{cosh} t}{\big(\sqrt{2}\operatorname{cosh} t\big)^{3}} =\frac{\sqrt{2}\operatorname{cosh} t}{2^{3/2}\operatorname{cosh}^{3}t} =\frac{1}{2\operatorname{cosh}^{2}t}.

Passo 12

Calculo a torção \tau_{\lambda}(t). Primeiro o produto misto:
(\lambda'\times\lambda'')\cdot \lambda''' = (-1,\;-\operatorname{sinh} t,\;\operatorname{cosh} t)\cdot(0,\;\operatorname{sinh} t,\;\operatorname{cosh} t) = -\operatorname{sinh} t\cdot\operatorname{sinh} t + \operatorname{cosh} t\cdot\operatorname{cosh} t = \operatorname{cosh}^{2}t-\operatorname{sinh}^{2}t = 1.
O denominador é \|\lambda'\times\lambda''\|^{2}=2\operatorname{cosh}^{2}t. Portanto
\tau_{\lambda}(t)=\frac{1}{2\operatorname{cosh}^{2}t}.
Observação agradável: para esta curva obtém-se \kappa_{\lambda}(t)=\tau_{\lambda}(t).

Resposta

(a) \kappa_{\alpha}(t)=\dfrac{2\sqrt{9t^{4}+9t^{2}+1}}{\bigl(1+4t^{2}+9t^{4}\bigr)^{3/2}}
\tau_{\alpha}(t)=\dfrac{3}{9t^{4}+9t^{2}+1}
(b) \kappa_{\lambda}(t)=\dfrac{1}{2\operatorname{cosh}^{2}t}
\tau_{\lambda}(t)=\dfrac{1}{2\operatorname{cosh}^{2}t}

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