Calcule a curvatura e a torção das seguintes curvas: \alpha(t)=\left(t, t^{2}, t^{3}\right)
(b) \lambda(t)=(t, \operatorname{cosh} (t), \operatorname{sinh} (t))
Passo 1
O enunciado dá duas curvas paramétricas em \mathbb{R}^3 e pede, para cada uma, a curvatura e a torção como funções do parâmetro t.
Para cada curva encontrar \kappa(t) (curvatura) e \tau(t) (torção).
Passo 2
Primeiro apresento as fórmulas que vou usar (explicadas de forma direta e intuitiva).
Notação: para uma curva \beta(t) denota-se \beta'(t), \beta''(t), \beta'''(t) as derivadas sucessivas em relação a t. A norma eu escrevo \|\cdot\|. O produto vetorial é \times e o produto escalar é \cdot.
Curvatura \kappa(t) (medida de quanto a curva “vira” localmente) para uma curva regular em \mathbb{R}^3 é dada por
Explicação rápida: \beta' é o vetor tangente, \beta'' mede a variação do tangente; o produto vetorial \beta'\times\beta'' dá um vetor perpendicular cuja norma é a área do paralelogramo formado por \beta' e \beta''. Dividindo por \|\beta'\|^{3} obtém-se uma quantidade adimensional que mede a curvatura geométrica.
Torção \tau(t) (medida do quanto a curva “sai” do plano osculador, isto é, de quanto ela gira tridimensionalmente) é dada por
Explicação rápida: o numerador é o produto misto (triple product) que mede a componente de \beta''' na direção de \beta'\times\beta''; dividindo pela norma ao quadrado obtém-se a taxa de torção.
Agora aplico essas fórmulas a cada curva, calculando passo a passo \beta',\beta'',\beta''', o produto vetorial, normas e finalmente \kappa e \tau.
Passo 3
Começando por (a) \alpha(t)=\big(t,t^{2},t^{3}\big). Calculo as derivadas:
\|\lambda'\times\lambda''\|=\sqrt{2}\,\operatorname{cosh} t.
Também
\|\lambda'(t)\|^{2}=1+\operatorname{sinh}^{2}t+\operatorname{cosh}^{2}t=2\operatorname{cosh}^{2}t, \qquad \|\lambda'(t)\|=\sqrt{2}\,\operatorname{cosh} t.