Seja \alpha: I \rightarrow \mathbb{R}^{3} curva regular, com t parâmetro qualquer. Mostre que
\begin{gathered} k(t)=\frac{\left\|\alpha^{\prime}(t) \wedge \alpha^{\prime \prime}(t)\right\|}{\left\|\alpha^{\prime}(t)\right\|^{3}} \\ \tau(t)=\frac{\left\langle\alpha^{\prime}(t) \wedge \alpha^{\prime \prime \prime}(t), \alpha^{\prime \prime}(t)\right\rangle}{\left\|\alpha^{\prime}(t) \wedge \alpha^{\prime \prime}(t)\right\|^{2}} \end{gathered}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos de dado.
  • Tem-se uma curva regular \alpha: I \to \mathbb{R}^3, parametrizada por um parâmetro arbitrário t.
  • Precisa-se mostrar as expressões (para qualquer parâmetro t):
k(t)=\frac{\left\|\alpha^{\prime}(t) \wedge \alpha^{\prime \prime}(t)\right\|}{\left\|\alpha^{\prime}(t)\right\|^{3}} \qquad\text{e}\qquad \tau(t)=\frac{\left\langle\alpha^{\prime}(t) \wedge \alpha^{\prime \prime \prime}(t), \alpha^{\prime \prime}(t)\right\rangle}{\left\|\alpha^{\prime}(t) \wedge \alpha^{\prime \prime}(t)\right\|^{2}}.
  • Informação importante: \alpha é regular, então \alpha'(t)\neq 0 para todo t, logo \left\|\alpha'(t)\right\| é bem definida e não nula.

Passo 2

Lembrando as definições padrão (em parâmetro arc‑comprimento s) — o “mini‑aula” que vamos usar.
  • Se a curva for reparametrizada por arc‑comprimento s, escrevemos \beta(s)=\alpha(t(s)) com \|\beta'(s)\|=1. Então:
    • Vetor tangente unitário: T(s)=\beta'(s).
    • Curvatura: \kappa(s)=\|T'(s)\|.
    • Vetor normal unitário: N(s)=\dfrac{T'(s)}{\|T'(s)\|} (quando \kappa\neq0).
    • Vetor binormal: B(s)=T(s)\times N(s).
    • Torção: \tau(s)=-\langle B'(s),N(s)\rangle.
  • Essas definições são as usadas para interpretar geometricamente curvatura e torção. Nosso objetivo é expressá‑las usando derivadas em um parâmetro qualquer t.
  • Estratégia: 1) derivar a expressão de k passando do parâmetro t às quantidades usuais; 2) derivar a expressão de \tau mostrando que a fórmula é invariante por reparametrização (ou seja, a razão que aparece é a mesma para qualquer parâmetro).

Passo 3

Derivação da fórmula da curvatura (passo a passo, sem pular contas).
  • Defina v(t)=\left\|\alpha'(t)\right\| (velocidade escalar). Então o vetor tangente unitário em função de t é
T(t)=\frac{\alpha'(t)}{v(t)}.
  • A curvatura em sentido usual é \kappa=\left\|\dfrac{dT}{ds}\right\|, onde s é o arc‑comprimento. Usando regra da cadeia,
\frac{dT}{ds}=\frac{dT/dt}{ds/dt}=\frac{T'(t)}{v(t)}.
Logo
k(t)=\left\|\frac{dT}{ds}\right\|=\frac{\left\|T'(t)\right\|}{v(t)}.
  • Agora calculamos T'(t). Primeiro calcule v'(t). Como v(t)=\sqrt{\langle\alpha',\alpha'\rangle},
v'(t)=\frac{\langle\alpha'(t),\alpha''(t)\rangle}{v(t)}.
  • Diferenciando T=\alpha'/v pelo parâmetro t:
T'(t)=\frac{\alpha''(t)\,v(t)-\alpha'(t)\,v'(t)}{v(t)^2}.
Substituindo v'(t)=\dfrac{\langle\alpha',\alpha''\rangle}{v},
T'(t)=\frac{v^2\alpha''-\alpha'\langle\alpha',\alpha''\rangle}{v^3},
onde, por simplicidade, omiti temporariamente a dependência em t nas notações v,\alpha',\alpha''.

Passo 4

Simplificação do módulo de T'(t) usando identidade do produto vetorial.
  • Vamos calcular \|T'(t)\| a partir de
T'(t)=\frac{u}{v^3},\qquad u:=v^2\alpha''-\alpha'\,\langle\alpha',\alpha''\rangle.
  • Calcule \|u\|^2. Denotando a=\alpha' e b=\alpha'' e lembrando v^2=\|a\|^2, temos
u=\|a\|^2 b - a\langle a,b\rangle.
Agora expandimos \|u\|^2:
\begin{aligned} \|u\|^2 &= \|a\|^4\|b\|^2 -2\|a\|^2\langle a,b\rangle^2 + \langle a,b\rangle^2\|a\|^2\\\ &= \|a\|^2\big(\|a\|^2\|b\|^2-\langle a,b\rangle^2\big). \end{aligned}
  • Reconhecemos a identidade do produto vetorial:
\|a\times b\|^2=\|a\|^2\|b\|^2-\langle a,b\rangle^2.
Logo
\|u\|^2=\|a\|^2\|a\times b\|^2,
portanto \|u\|=\|a\|\,\|a\times b\|=v\,\|\alpha'\times\alpha''\|.
  • Assim
\|T'(t)\|=\frac{\|u\|}{v^3}=\frac{v\,\|\alpha'\times\alpha''\|}{v^3}=\frac{\|\alpha'\times\alpha''\|}{v^2}.
  • Finalmente, lembrando k(t)=\dfrac{\|T'(t)\|}{v}, obtemos
k(t)=\frac{\|\alpha'(t)\times\alpha''(t)\|}{v(t)^3}=\frac{\left\|\alpha^{\prime}(t)\wedge\alpha^{\prime\prime}(t)\right\|}{\left\|\alpha^{\prime}(t)\right\|^{3}}.
(Pronto: primeira fórmula demonstrada.) Pequena observação: aqui usei a notação \times e \wedge como sinônimos (produto vetorial).

Passo 5

Derivação da fórmula da torção mostrando invariância por reparametrização (maneira elegante e limpa).
  • Ideia: a fórmula para torção em arc‑comprimento é
\tau(s)=\frac{\langle \beta'(s)\times\beta''(s),\,\beta'''(s)\rangle}{\|\beta'(s)\times\beta''(s)\|^2},
onde \beta(s) é a curva parametrizada por arc‑comprimento. Mostraremos que a mesma razão em termos de \alpha (parâmetro arbitrário t) é igual — ou seja, a expressão é invariante por reparametrização.
  • Seja s=s(t) o arc‑comprimento desde algum ponto até t. Escreva \beta(s)=\alpha(t(s)). Denote s'=ds/dt, s''=d^2s/dt^2, s'''=d^3s/dt^3.
  • Aplicando a regra da cadeia:
\begin{aligned} \alpha'(t)&=s'(t)\,\beta'(s),\\\ \alpha''(t)&=s''(t)\,\beta'(s)+(s'(t))^2\beta''(s),\\\ \alpha'''(t)&=s'''(t)\,\beta'(s)+3s'(t)s''(t)\,\beta''(s)+(s'(t))^3\beta'''(s). \end{aligned}
  • Calcule o produto vetorial \alpha'\times\alpha''. Note que \beta'\times\beta'=0, então
\alpha'(t)\times\alpha''(t)=(s')^3\big(\beta'(s)\times\beta''(s)\big).
Logo
\|\alpha'\times\alpha''\|=(s')^3\|\beta'\times\beta''\|.
  • Agora o produto misto (triple product):
\begin{aligned} \langle\alpha'\times\alpha'',\,\alpha'''\rangle &=(s')^3\langle\beta'\times\beta'',\,s'''\beta'+3s's''\beta''+(s')^3\beta'''\rangle\\\ &=(s')^6\langle\beta'\times\beta'',\,\beta'''\rangle, \end{aligned}
pois \langle\beta'\times\beta'',\beta'\rangle=0 e \langle\beta'\times\beta'',\beta''\rangle=0.
  • Portanto o quociente fica
\frac{\langle\alpha'\times\alpha'',\,\alpha'''\rangle}{\|\alpha'\times\alpha''\|^2} =\frac{(s')^6\langle\beta'\times\beta'',\,\beta'''\rangle}{(s')^6\|\beta'\times\beta''\|^2} =\frac{\langle\beta'\times\beta'',\,\beta'''\rangle}{\|\beta'\times\beta''\|^2}.
  • A quantidade do lado direito é exatamente a torção \tau(s) no parâmetro arc‑comprimento. Concluímos que a razão
\frac{\langle\alpha'\times\alpha'',\,\alpha'''\rangle}{\|\alpha'\times\alpha''\|^2}
é independente da reparametrização e, portanto, igual a \tau(t) para qualquer parâmetro t.

Passo 6

Observação sobre a forma equivalente dada no enunciado.
  • A expressão que acabamos de obter é
\tau(t)=\frac{\langle\alpha'(t)\times\alpha''(t),\,\alpha'''(t)\rangle}{\|\alpha'(t)\times\alpha''(t)\|^2}.
  • Usando a propriedade cíclica do produto misto (produto triple): \langle u\times v, w\rangle=\langle u\times w, v\rangle=\langle w\times u, v\rangle, a fórmula pode ser reescrita como
\tau(t)=\frac{\langle\alpha'(t)\times\alpha'''(t),\,\alpha''(t)\rangle}{\|\alpha'(t)\times\alpha''(t)\|^2},
que é exatamente a forma apresentada no enunciado. Portanto as duas escritas são equivalentes.

Resposta

k(t)=\frac{\left\|\alpha^{\prime}(t)\wedge\alpha^{\prime\prime}(t)\right\|}{\left\|\alpha^{\prime}(t)\right\|^{3}}
\tau(t)=\frac{\left\langle\alpha^{\prime}(t)\wedge\alpha^{\prime\prime\prime}(t),\,\alpha^{\prime\prime}(t)\right\rangle}{\left\|\alpha^{\prime}(t)\wedge\alpha^{\prime\prime}(t)\right\|^{2}}

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