Informação importante: \alpha é regular, então \alpha'(t)\neq 0 para todo t, logo \left\|\alpha'(t)\right\| é bem definida e não nula.
Passo 2
Lembrando as definições padrão (em parâmetro arc‑comprimento s) — o “mini‑aula” que vamos usar.
Se a curva for reparametrizada por arc‑comprimento s, escrevemos \beta(s)=\alpha(t(s)) com \|\beta'(s)\|=1. Então:
Vetor tangente unitário: T(s)=\beta'(s).
Curvatura: \kappa(s)=\|T'(s)\|.
Vetor normal unitário: N(s)=\dfrac{T'(s)}{\|T'(s)\|} (quando \kappa\neq0).
Vetor binormal: B(s)=T(s)\times N(s).
Torção: \tau(s)=-\langle B'(s),N(s)\rangle.
Essas definições são as usadas para interpretar geometricamente curvatura e torção. Nosso objetivo é expressá‑las usando derivadas em um parâmetro qualquer t.
Estratégia: 1) derivar a expressão de k passando do parâmetro t às quantidades usuais; 2) derivar a expressão de \tau mostrando que a fórmula é invariante por reparametrização (ou seja, a razão que aparece é a mesma para qualquer parâmetro).
Passo 3
Derivação da fórmula da curvatura (passo a passo, sem pular contas).
Defina v(t)=\left\|\alpha'(t)\right\| (velocidade escalar). Então o vetor tangente unitário em função de t é
T(t)=\frac{\alpha'(t)}{v(t)}.
A curvatura em sentido usual é \kappa=\left\|\dfrac{dT}{ds}\right\|, onde s é o arc‑comprimento. Usando regra da cadeia,
onde \beta(s) é a curva parametrizada por arc‑comprimento. Mostraremos que a mesma razão em termos de \alpha (parâmetro arbitrário t) é igual — ou seja, a expressão é invariante por reparametrização.
Seja s=s(t) o arc‑comprimento desde algum ponto até t. Escreva \beta(s)=\alpha(t(s)). Denote s'=ds/dt, s''=d^2s/dt^2, s'''=d^3s/dt^3.
Usando a propriedade cíclica do produto misto (produto triple): \langle u\times v, w\rangle=\langle u\times w, v\rangle=\langle w\times u, v\rangle, a fórmula pode ser reescrita como