O numerador \;x'y''-y'x''\; mede a “torção” instantânea da velocidade (é proporcional à área orientada formada por (x',y') e (x'',y'')). O denominador normaliza pelo cubo da velocidade para que \kappa seja independente da parametrização (apenas da forma da curva). A curvatura é sempre não negativa, por isso há o valor absoluto no numerador.
Passo 3
Calcular x'(t) e x''(t) da componente x(t)=\sin t.
Derivando:
x'(t)=\cos t, \qquad x''(t)=-\sin t.
Passo 4
Calcular y'(t). Primeiro derivamos y(t)=\cos t+\log\tan\frac{t}{2}.
Derivada de \cos t é -\sin t.
Agora derivada de \log\tan\frac{t}{2}. Faço passo a passo:
Seja u(t)=\tan\frac{t}{2}. Então \frac{d}{dt}\log u(t)=\frac{u'(t)}{u(t)}.
Isso fica confuso — retomemos olhando a expressão completa mais cuidadosamente.
Voltemos à soma original:
N(t) = -\cos^2 t -\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} + \sin^2 t -1.
Agrupando -\cos^2 t + \sin^2 t -1 = -(\cos^2 t +1) + \sin^2 t = -\cos^2 t -1 +\sin^2 t.
Usando \sin^2 t+\cos^2 t=1, observe que -\cos^2 t + \sin^2 t -1 = -\cos^2 t + \sin^2 t - (\sin^2 t+\cos^2 t) = -2\cos^2 t.
Porém esse caminho é confuso; há um atalho mais direto:
Reescrevendo com \sin^2 t+\cos^2 t=1:
-\cos^2 t + \sin^2 t -1 = -\cos^2 t + \sin^2 t -(\sin^2 t+\cos^2 t) = -2\cos^2 t.
Assim
N(t) = -2\cos^2 t -\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}.
Mas esse resultado parece diferente do que obtivemos antes de manipular; melhor recomputar de forma direta e limpa.
Refazendo passo a passo sem erros de sinal:
N(t)=\cos t\cdot y''(t) + \sin t\cdot y'(t)
(usando x''=-\sin t, então -y' x'' = +\sin t\,y').
Comentário didático curto: a curvatura é sempre não negativa, por isso o valor absoluto. Se estiver trabalhando num intervalo onde \tan t>0 (por exemplo 0<t<\tfrac{\pi}{2}), pode escrever \kappa(t)=\tan t sem valor absoluto. Note que \kappa(t) cresce quando t se aproxima de \tfrac{\pi}{2} (onde a curva fica mais “curvada”).