Calcule a curvatura da Tractrix: \alpha(t)=\left(\operatorname{sen} t, \cos t+\log \operatorname{tg} \frac{t}{2}\right).

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
\alpha(t)=\bigl(\sin t,\;\cos t+\log\tan\frac{t}{2}\bigr)
e pede para calcular a curvatura da curva em função de t.
Informações relevantes que vamos usar:
  • As componentes da curva são x(t)=\sin t e y(t)=\cos t+\log\tan\frac{t}{2}.
  • A curvatura de uma curva plana parametrizada por \alpha(t)=(x(t),y(t)) será obtida a partir das derivadas primeiras e segundas de x e y.

Passo 2

Vou lembrar a fórmula prática que usaremos e explicar o que cada coisa significa.
Para uma curva plana \alpha(t)=(x(t),y(t)) (com derivadas suficientes), a curvatura \kappa(t) em termos do parâmetro t é dada por
\kappa(t)=\frac{\bigl|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)\bigr|}{\bigl(x'(t)^2+y'(t)^2\bigr)^{3/2}}.
O numerador \;x'y''-y'x''\; mede a “torção” instantânea da velocidade (é proporcional à área orientada formada por (x',y') e (x'',y'')). O denominador normaliza pelo cubo da velocidade para que \kappa seja independente da parametrização (apenas da forma da curva). A curvatura é sempre não negativa, por isso há o valor absoluto no numerador.

Passo 3

Calcular x'(t) e x''(t) da componente x(t)=\sin t.
Derivando:
x'(t)=\cos t, \qquad x''(t)=-\sin t.

Passo 4

Calcular y'(t). Primeiro derivamos y(t)=\cos t+\log\tan\frac{t}{2}.
Derivada de \cos t é -\sin t.
Agora derivada de \log\tan\frac{t}{2}. Faço passo a passo:
  • Seja u(t)=\tan\frac{t}{2}. Então \frac{d}{dt}\log u(t)=\frac{u'(t)}{u(t)}.
  • u'(t)=\frac{1}{2}\operatorname{sec}^2\frac{t}{2}.
  • Portanto
\frac{d}{dt}\log\tan\frac{t}{2}=\frac{\tfrac{1}{2}\operatorname{sec}^2\frac{t}{2}}{\tan\frac{t}{2}} =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}} =\frac{1}{\sin t},
pois \sin t=2\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}.
Assim
y'(t)=-\sin t+\frac{1}{\sin t}.

Passo 5

Calcular y''(t). Derivamos cada termo de y'(t)=-\sin t+\dfrac{1}{\sin t}.
  • Derivada de -\sin t é -\cos t.
  • Derivada de \dfrac{1}{\sin t}=\csc t é -\csc t\cot t. Em termos de seno e cosseno:
\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{\sin t}\right)=-\frac{\cos t}{\sin^2 t}.
Logo
y''(t)=-\cos t-\frac{\cos t}{\sin^2 t}.

Passo 6

Agora montamos o numerador N(t)=x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t).
Substituindo:
N(t)=\cos t\!\left(-\cos t-\frac{\cos t}{\sin^2 t}\right)-\left(-\sin t+\frac{1}{\sin t}\right)\cdot(-\sin t).
Vou simplificar termo a termo:
  • Primeiro produto: \cos t\cdot\bigl(-\cos t-\frac{\cos t}{\sin^2 t}\bigr)=-\cos^2 t-\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}.
  • Segundo produto: \bigl(-\sin t+\frac{1}{\sin t}\bigr)(-\sin t)= -\sin t\cdot(-\sin t)+\frac{1}{\sin t}\cdot(-\sin t) — com cuidado nos sinais:
    calcular diretamente: (-\sin t+\frac{1}{\sin t})(-\sin t)=\sin^2 t-1.
Agora somando:
N(t)=\left(-\cos^2 t-\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}\right)+\left(\sin^2 t-1\right).
Como \sin^2 t+\cos^2 t=1, temos -\cos^2 t+\sin^2 t-1 = -(\cos^2 t+\sin^2 t)+1-1 = -1+0 = -1+0. Mas é mais direto fazer:
-\cos^2 t+\sin^2 t-1 = -(\cos^2 t+\sin^2 t)+\sin^2 t-1+\sin^2 t\\ \text{(não necessário)}.ãá
Melhor simplificação combinando os termos constantes:
-\cos^2 t+\sin^2 t-1 = -(\cos^2 t+\sin^2 t)+\;(\sin^2 t)-1 = -1+\sin^2 t-1 = \sin^2 t-2.
Isso fica confuso — retomemos olhando a expressão completa mais cuidadosamente.
Voltemos à soma original:
N(t) = -\cos^2 t -\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} + \sin^2 t -1.
Agrupando -\cos^2 t + \sin^2 t -1 = -(\cos^2 t +1) + \sin^2 t = -\cos^2 t -1 +\sin^2 t.
Usando \sin^2 t+\cos^2 t=1, observe que -\cos^2 t + \sin^2 t -1 = -\cos^2 t + \sin^2 t - (\sin^2 t+\cos^2 t) = -2\cos^2 t.
Porém esse caminho é confuso; há um atalho mais direto:
Reescrevendo com \sin^2 t+\cos^2 t=1:
-\cos^2 t + \sin^2 t -1 = -\cos^2 t + \sin^2 t -(\sin^2 t+\cos^2 t) = -2\cos^2 t.
Assim
N(t) = -2\cos^2 t -\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}.
Mas esse resultado parece diferente do que obtivemos antes de manipular; melhor recomputar de forma direta e limpa.
Refazendo passo a passo sem erros de sinal:
N(t)=\cos t\cdot y''(t) + \sin t\cdot y'(t)
(usando x''=-\sin t, então -y' x'' = +\sin t\,y').
Substituindo y'' e y':
N(t)=\cos t\!\left(-\cos t-\frac{\cos t}{\sin^2 t}\right)+\sin t\!\left(-\sin t+\frac{1}{\sin t}\right).
Agora calcule cada parte:
  • \cos t(-\cos t)=-\cos^2 t.
  • \cos t\left(-\frac{\cos t}{\sin^2 t}\right)=-\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}.
  • \sin t(-\sin t)=-\sin^2 t.
  • \sin t\cdot\frac{1}{\sin t}=1.
Somando:
N(t) = -\cos^2 t -\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} -\sin^2 t +1.
Agora combine -\cos^2 t -\sin^2 t = -1. Portanto
N(t) = -1 -\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} +1 = -\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}.
Portanto
N(t)=-\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}.
Tomando valor absoluto do numerador (curvatura usa valor absoluto):
|N(t)|=\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}=\cot^2 t.

Passo 7

Calcular o denominador D(t)=\bigl(x'(t)^2+y'(t)^2\bigr)^{3/2}.
Primeiro x'(t)^2+y'(t)^2=\cos^2 t+\left(-\sin t+\frac{1}{\sin t}\right)^2.
Expandindo o quadrado:
\left(-\sin t+\frac{1}{\sin t}\right)^2=\sin^2 t -2 +\frac{1}{\sin^2 t}.
Assim
x'(t)^2+y'(t)^2=\cos^2 t+\sin^2 t -2 +\frac{1}{\sin^2 t}=1-2+\frac{1}{\sin^2 t}=\frac{1}{\sin^2 t}-1.
Mas \dfrac{1}{\sin^2 t}-1=\dfrac{1-\sin^2 t}{\sin^2 t}=\dfrac{\cos^2 t}{\sin^2 t}=\cot^2 t.
Portanto
x'(t)^2+y'(t)^2=\cot^2 t,
e assim
D(t)=\bigl(\cot^2 t\bigr)^{3/2}=|\cot t|^3.

Passo 8

Finalmente, juntar numerador e denominador para obter a curvatura:
\kappa(t)=\frac{|N(t)|}{D(t)}=\frac{\cot^2 t}{|\cot t|^3}=\frac{1}{|\cot t|}=|\tan t|.
Comentário didático curto: a curvatura é sempre não negativa, por isso o valor absoluto. Se estiver trabalhando num intervalo onde \tan t>0 (por exemplo 0<t<\tfrac{\pi}{2}), pode escrever \kappa(t)=\tan t sem valor absoluto. Note que \kappa(t) cresce quando t se aproxima de \tfrac{\pi}{2} (onde a curva fica mais “curvada”).

Resposta

\kappa(t)=|\tan t|

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