Calcule
d) integral -4 x^32 x^3+x^2-2 x-1 d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de uma função racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. O conteúdo que vamos usar aqui é o de integração de funções racionais, que pode envolver divisão polinomial e frações parciais. Vamos precisar verificar o grau dos polinômios para saber como proceder.

Passo 2

Observando a nossa integral:
integral -4x^32x^3 + x^2 - 2x - 1 , dx
Percebemos que o grau do numerador (3) é igual ao grau do denominador (3). Quando os graus são iguais, podemos fazer uma divisão polinomial para simplificar a fração.

Passo 3

Vamos dividir -4x^32x^3 = -2 por -2 times (2x^3 + x^2 - 2x - 1) = -4x^3 - 2x^2 + 4x + 2 . Dividindo os termos principais:
(-4x^3) - (-4x^3 - 2x^2 + 4x + 2) = 2x^2 - 4x - 2
Multiplicamos -2 + 2x^2 - 4x - 22x^3 + x^2 - 2x - 1 pelo denominador:
Subtraindo do numerador:
Então, a fração original pode ser reescrita como:

Passo 4

Agora nossa integral fica:
integral ( -2 + 2x^2 - 4x - 22x^3 + x^2 - 2x - 1 ) dx = integral -2 , dx + integral 2x^2 - 4x - 22x^3 + x^2 - 2x - 1 , dx
Vamos calcular cada parte separadamente.

Passo 5

Integrando a primeira parte:
integral -2 , dx = -2x + C1
Agora vamos focar na segunda integral:
integral 2x^2 - 4x - 22x^3 + x^2 - 2x - 1 , dx

Passo 6

Vamos fatorar o denominador 2(1)^3 + 1^2 - 2(1) - 1 = 0 . Procuramos raízes racionais possíveis usando o teorema das raízes racionais. Testando 2x^3 + x^2 - 2x - 1 = (x - 1)(2x^2 + 3x + 1) = (x - 1)(2x + 1)(x + 1) :
Então, é uma raiz. Fatorando:

Passo 7

Agora, temos a integral:
integral 2x^2 - 4x - 2(x - 1)(2x + 1)(x + 1) , dx
Vamos decompor isso em frações parciais:
2x^2 - 4x - 2(x - 1)(2x + 1)(x + 1) = Ax - 1 + B2x + 1 + Cx + 1

Passo 8

Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum:
2x^2 - 4x - 2 = A(2x + 1)(x + 1) + B(x - 1)(x + 1) + C(x - 1)(2x + 1)
Para encontrar , e , escolhemos valores de que simplificam a equação.

Passo 9

Escolhendo 2(1)^2 - 4(1) - 2 = A(3)(2) Rightarrow -4 = 6A Rightarrow A = -23 :
2(-12)^2 - 4(-12) - 2 = B(-32)(12) Rightarrow 12 = -34B Rightarrow B = -23
Escolhendo 2(-1)^2 - 4(-1) - 2 = C(-2)(-1) Rightarrow 4 = 2C Rightarrow C = 2 :
Escolhendo :

Passo 10

Substituindo 2x^2 - 4x - 2(x - 1)(2x + 1)(x + 1) = -23x - 1 + -232x + 1 + 2x + 1 , e na decomposição:

Passo 11

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
integral ( -23 cdot 1x - 1 - 23 cdot 12x + 1 + 2 cdot 1x + 1 ) dx
Isso resulta em:
-23 ln|x - 1| - 13 ln|2x + 1| + 2 ln|x + 1| + C

Resposta

A integral é igual a:
-2x - 23 ln|x - 1| - 13 ln|2x + 1| + 2 ln|x + 1| + C

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