Calcule
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de uma função racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. O conteúdo que vamos usar aqui é o de integração de funções racionais, que pode envolver divisão polinomial e frações parciais. Vamos precisar verificar o grau dos polinômios para saber como proceder.
Passo 2
Observando a nossa integral:
Percebemos que o grau do numerador (3) é igual ao grau do denominador (3). Quando os graus são iguais, podemos fazer uma divisão polinomial para simplificar a fração.
Passo 3
Vamos dividir
por
. Dividindo os termos principais:
Multiplicamos
pelo denominador:
Subtraindo do numerador:
Então, a fração original pode ser reescrita como:
Passo 4
Agora nossa integral fica:
Vamos calcular cada parte separadamente.
Passo 5
Integrando a primeira parte:
Agora vamos focar na segunda integral:
Passo 6
Vamos fatorar o denominador
. Procuramos raízes racionais possíveis usando o teorema das raízes racionais. Testando
:
Então,
é uma raiz. Fatorando:
Passo 7
Agora, temos a integral:
Vamos decompor isso em frações parciais:
Passo 8
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum:
Para encontrar
,
e
, escolhemos valores de
que simplificam a equação.
Passo 9
Escolhendo
:
Escolhendo
:
Escolhendo
:
Passo 10
Substituindo
,
e
na decomposição:
Passo 11
Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
Isso resulta em:
Resposta
A integral é igual a: