Faça um esboço do gráfico das seguintes funções:
a)
b)
a)
b)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para fazermos o esboço dos gráficos de duas funções. O conteúdo envolvido aqui é Análise de Funções e Gráficos. Para isso, precisamos entender o comportamento das funções dadas, como domínio, imagem, crescimento, decrescimento, assíntotas e pontos importantes que caracterizam o gráfico.
Passo 2
Vamos começar com a função a)
.
Primeiro, vamos analisar o domínio da função. A função exponencial está definida para todo
real, mas o enunciado restringe
a
.
Passo 3
Em seguida, vamos identificar a imagem da função. Já que
é sempre positivo e diminui conforme
aumenta, subtraindo 1 teremos que
varia de
para valores negativos que se aproximam de
conforme
cresce.
Passo 4
Agora, vamos verificar o comportamento da função. Como a base
é menor que 1, a função é decrescente. Isto significa que à medida que
aumenta,
diminui.
Passo 5
Identificamos as assíntotas. Para
tendendo a
,
se aproxima de
, então temos uma assíntota horizontal em
.
Passo 6
Vamos determinar alguns pontos chave:
- Quando
: - Quando
: - Quando
:
Passo 7
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função
, que começa em
, passa por
,
, e se aproxima de
conforme
cresce.
Passo 8
Agora vamos para a função b)
.
Primeiro, analisamos o domínio. O logaritmo natural
está definido para
, então o domínio de
é
.
Passo 9
Em seguida, observamos a imagem da função. Como
varia de
a
, multiplicando por
e somando 1,
também cobre todos os valores reais.
Passo 10
Vamos verificar o comportamento da função. A derivada de
é
, que é sempre negativa para
. Portanto,
é uma função decrescente.
Passo 11
Identificamos as assíntotas. Para
tendendo a 0+,
tende a
, então
tende a
. Já para
tendendo a
,
tende a
, e
tende a
.
Passo 12
Determinar alguns pontos chave:
- Quando
: - Quando
(onde é a base dos logaritmos naturais): - Quando
:
Passo 13
Com essas informações, podemos esboçar o gráfico da função
, que passa por
,
,
, e mostra que conforme
aumenta,
desce sem limites, e conforme
se aproxima de 0,
sobe sem limites.
Resposta
O esboço dos gráficos das funções
e
apresenta:
a) Função
:
- Inicia em
- Passa por pontos como
e - Decresce continuamente
- Assíntota horizontal em
b) Função
:
- Passa por
, e - Decresce continuamente
- Assíntota vertical quando
se aproxima de 0, indo para - Desce sem limites conforme
aumenta, tendendo para