Faça um esboço do gráfico das seguintes funções:
a) f: [0,+infinito) -> R ; f(x) = (1/2)^x - 1
b) g: R+ -> R ; g(x) = 1 - 2 ln(x)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para fazermos o esboço dos gráficos de duas funções. O conteúdo envolvido aqui é Análise de Funções e Gráficos. Para isso, precisamos entender o comportamento das funções dadas, como domínio, imagem, crescimento, decrescimento, assíntotas e pontos importantes que caracterizam o gráfico.

Passo 2

Vamos começar com a função a) .
Primeiro, vamos analisar o domínio da função. A função exponencial está definida para todo real, mas o enunciado restringe a .

Passo 3

Em seguida, vamos identificar a imagem da função. Já que é sempre positivo e diminui conforme aumenta, subtraindo 1 teremos que varia de para valores negativos que se aproximam de conforme cresce.

Passo 4

Agora, vamos verificar o comportamento da função. Como a base é menor que 1, a função é decrescente. Isto significa que à medida que aumenta, diminui.

Passo 5

Identificamos as assíntotas. Para tendendo a , se aproxima de , então temos uma assíntota horizontal em .

Passo 6

Vamos determinar alguns pontos chave:
  • Quando :
  • Quando :
  • Quando :

Passo 7

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função , que começa em , passa por , , e se aproxima de conforme cresce.

Passo 8

Agora vamos para a função b) .
Primeiro, analisamos o domínio. O logaritmo natural está definido para , então o domínio de é .

Passo 9

Em seguida, observamos a imagem da função. Como varia de a , multiplicando por e somando 1, também cobre todos os valores reais.

Passo 10

Vamos verificar o comportamento da função. A derivada de é , que é sempre negativa para . Portanto, é uma função decrescente.

Passo 11

Identificamos as assíntotas. Para tendendo a 0+, tende a , então tende a . Já para tendendo a , tende a , e tende a .

Passo 12

Determinar alguns pontos chave:
  • Quando :
  • Quando (onde é a base dos logaritmos naturais):
  • Quando :

Passo 13

Com essas informações, podemos esboçar o gráfico da função , que passa por , , , e mostra que conforme aumenta, desce sem limites, e conforme se aproxima de 0, sobe sem limites.

Resposta

O esboço dos gráficos das funções e apresenta:
a) Função :
  • Inicia em
  • Passa por pontos como e
  • Decresce continuamente
  • Assíntota horizontal em
b) Função :
  • Passa por , e
  • Decresce continuamente
  • Assíntota vertical quando se aproxima de 0, indo para
  • Desce sem limites conforme aumenta, tendendo para

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