Calcule as integrais definidas
(i) integral0^1 e^(2 x-1) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida integral0^1 e^2x - 1 , dx. Aqui, estamos trabalhando com integrais definidas, que são usadas para calcular a área sob a curva de uma função entre dois pontos. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de integração por substituição, que nos ajuda a simplificar integrais mais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão no expoente. Vamos chamar u de 2x - 1. Ou seja:
u = 2x - 1

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir dx. Derivando ambos os lados:
dudx = 2 Rightarrow du = 2,dx Rightarrow dx = du2

Passo 4

Substituímos u e dx na integral original:
integral0^1 e^2x - 1 , dx = integralu(0)^u(1) e^u cdot du2

Passo 5

Vamos calcular os novos limites de integração. Quando x = 0:
u(0) = 2(0) - 1 = -1
E quando x = 1:
u(1) = 2(1) - 1 = 1
Então, a integral fica:
12 integral-1^1 e^u , du

Passo 6

Agora, integremos e^u em relação a u:
integral e^u , du = e^u + C
Como estamos trabalhando com uma integral definida, não precisamos do C. Então:
12 [ e^u ]-1^1 = 12 ( e^1 - e^-1 )

Resposta

A integral definida integral0^1 e^2x - 1 , dx é igual a 12 ( e - 1e ).

Exercícios relacionados