Considerando a Lei do Resfriamento de Newton, obtenha a hora da morte de uma vitima encontrada as 15 h cuja temperatura era de
em uma sala com temperatura constante de
, que após uma hora, apresentava temperatura de
. Obs:
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que envolve a Lei do Resfriamento de Newton. A ideia é descobrir a hora em que uma pessoa morreu, sabendo que ela foi encontrada às 15h com uma temperatura de
em uma sala que mantém uma temperatura constante de
. Além disso, uma hora depois, às 16h, a temperatura da vítima estava
. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da Lei do Resfriamento de Newton e entender como a temperatura do corpo muda ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Lei do Resfriamento de Newton. Ela diz que a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura ambiente. A fórmula matemática dessa lei é:
Onde:
-
é a temperatura do objeto no tempo , -
é a temperatura ambiente, -
é a temperatura inicial do objeto, -
é a constante de resfriamento, -
é o tempo.
Passo 3
Vamos identificar o que sabemos:
- Temperatura ambiente,
. - Temperatura da vítima às 15h,
. - Temperatura da vítima uma hora depois, às 16h,
.
Queremos encontrar a hora da morte, ou seja, o tempo
em que a temperatura corporal normal, que vamos considerar
, foi registrada.
Passo 4
Vamos chamar o tempo da morte de
. Então, às 15h, o tempo que passou desde a morte é
horas, e às 16h, será
horas.
Aplicando a fórmula da Lei do Resfriamento de Newton para as duas temperaturas conhecidas:
Para às 15h:
Para às 16h:
Passo 5
Vamos simplificar as equações:
Para às 15h:
Para às 16h:
Passo 6
Agora, vamos resolver para
nas duas equações usando o logaritmo natural:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Passo 7
Sabemos que
e
.
Então, temos:
Podemos dividir as duas equações para eliminar
:
Passo 8
Agora, resolvemos para
:
Calculando os valores numéricos:
Então:
Portanto:
Resposta
A vítima morreu aproximadamente às 14h18min.