Exercício 2. Calcule as integrais duplas a seguir realizando uma mudança de integrais apropriada:
(b) , em que é o paralelogramo de vértices e .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular uma integral dupla da função sobre um domínio , que é um paralelogramo com vértices nos pontos , , e . Para resolver isso, vamos fazer uma mudança de variáveis que vai transformar esse paralelogramo em um retângulo mais fácil de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma mudança de variáveis que simplifique a região de integração. Observando os vértices, percebemos que uma boa escolha é:
Dessa forma, conseguimos transformar o paralelogramo em um retângulo nos novos eixos e .
Passo 3
Agora, precisamos expressar e em termos de e . Resolvendo as equações:
Passo 4
Vamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação para ajustar a área na integral. O jacobiano é dado por:
Então, dA = |J| , du , dv = 12 , du , dv.
Passo 5
Agora precisamos determinar os novos limites de integração para u e v. Vamos substituir os vértices originais nas equações de u e v:
Para (pi, 0): u = pi - 0 = pi e v = pi + 0 = pi
Para (2pi, pi): u = 2pi - pi = pi e v = 2pi + pi = 3pi
Para (pi, 2pi): u = pi - 2pi = -pi e v = pi + 2pi = 3pi
Para (0, pi): u = 0 - pi = -pi e v = 0 + pi = pi
Então, os limites são u de -pi a pi e v de pi a 3pi.
Passo 6
Com tudo isso, a integral original fica:
integral duplaD (x - y)^2 sin(x + y) , dA = integralpi^3pi integral-pi^pi u^2 sin v cdot 12 , du , dv