Exercício 2. Calcule as integrais duplas a seguir realizando uma mudança de integrais apropriada:
(b) integral duplaD(x-y)^2 sen(x+y) d A, em que D é o paralelogramo de vértices (pi, 0),(2 pi, pi),(pi, 2 pi) e (0, pi).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular uma integral dupla da função (x - y)^2 sin(x + y) sobre um domínio D, que é um paralelogramo com vértices nos pontos (pi, 0), (2pi, pi), (pi, 2pi) e (0, pi). Para resolver isso, vamos fazer uma mudança de variáveis que vai transformar esse paralelogramo em um retângulo mais fácil de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma mudança de variáveis que simplifique a região de integração. Observando os vértices, percebemos que uma boa escolha é:
u = x - y e v = x + y
Dessa forma, conseguimos transformar o paralelogramo em um retângulo nos novos eixos u e v.

Passo 3

Agora, precisamos expressar x e y em termos de u e v. Resolvendo as equações:
x = u + v2 e y = v - u2

Passo 4

Vamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação para ajustar a área na integral. O jacobiano J é dado por:
J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v = 12 & 12 -12 & 12 = (12 times 12) - (12 times -12) = 14 + 14 = 12
Então, dA = |J| , du , dv = 12 , du , dv.

Passo 5

Agora precisamos determinar os novos limites de integração para u e v. Vamos substituir os vértices originais nas equações de u e v:
  • Para (pi, 0): u = pi - 0 = pi e v = pi + 0 = pi
  • Para (2pi, pi): u = 2pi - pi = pi e v = 2pi + pi = 3pi
  • Para (pi, 2pi): u = pi - 2pi = -pi e v = pi + 2pi = 3pi
  • Para (0, pi): u = 0 - pi = -pi e v = 0 + pi = pi
Então, os limites são u de -pi a pi e v de pi a 3pi.

Passo 6

Com tudo isso, a integral original fica:
integral duplaD (x - y)^2 sin(x + y) , dA = integralpi^3pi integral-pi^pi u^2 sin v cdot 12 , du , dv

Passo 7

Vamos resolver a integral em u primeiro:
integral-pi^pi u^2 , du = 2 integral0^pi u^2 , du = 2 [ u^33 ]0^pi = 2 ( pi^33 ) = 2pi^33

Passo 8

Substituindo esse resultado na integral principal:
12 cdot 2pi^33 integralpi^3pi sin v , dv = pi^33 [ -cos v ]pi^3pi

Passo 9

Calculando a integral em v:
-cos(3pi) + cos(pi) = -(-1) + (-1) = 1 - 1 = 0

Resposta

Portanto, o valor da integral dupla é boxed0.

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