Calcule d r / d t e d^2 r / d t^2 para:
r(t)=(3 t^2, e^-t, ln (t^2+1))

Passo 1

O enunciado nos dá a função vetorial
r(t) = l(3t^2,,e^-t,,ln(t^2+1)r)
e pede drdt e d^2rdt^2.
O conteúdo é diferenciação de funções vetoriais, aplicando derivada componente a componente e regras como cadeia e quociente.

Passo 2

Para obter drdt usamos a propriedade
drdt = l(x'(t),,y'(t),,z'(t)r)
quando r(t)=(x(t),y(t),z(t)).
1. x(t)=3t^2 Rightarrow x'(t)=6t.
2. y(t)=e^-t. Pela regra da cadeia, y'(t)=-e^-t.
3. z(t)=ln(t^2+1). Pela regra da cadeia,
z'(t)=1t^2+1cdot 2t = 2tt^2+1
Logo,
drdt = l(6t,,-e^-t,,tfrac2tt^2+1r)

Passo 3

Para d^2rdt^2 derivamos componente a componente de drdt:
1. Derivada de 6t é 6.
2. Derivada de -e^-t é -1cdot(-e^-t)=e^-t.
3. Derivada de 2tt^2+1 usando regra do quociente l(tfracuvr)'=tfracu'v-uv'v^2 com u=2t, v=t^2+1:
ddt!l(tfrac2tt^2+1r) = 2,(t^2+1) - 2t,(2t)(t^2+1)^2 = 2t^2+2 -4t^2(t^2+1)^2 = 2-2t^2(t^2+1)^2
Portanto,
d^2rdt^2 = l(6,,e^-t,,tfrac2-2t^2(t^2+1)^2r)

Resposta

drdt = l(6t,,-e^-t,,tfrac2tt^2+1r), d^2rdt^2 = l(6,,e^-t,,tfrac2-2t^2(t^2+1)^2r)

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