Verifique se as séries são absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes.
sumn=1^infty (-1)^n-1raizn

Passo 1

O enunciado nos dá a série alternada
sumn=1^infty (-1)^n-1raizn
e pede para verificar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos primeiro testar a convergência absoluta e depois usar o critério de Leibniz para a convergência condicional.

Passo 2

Para testar a convergência absoluta, analisamos a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty |(-1)^n-1raizn| =sumn=1^infty 1raizn
Esta é uma série p-série com p=tfrac12. Sabemos que uma p-série
sumn=1^infty1n^p
converge somente se p>1. Como tfrac12<1, concluímos que
sumn=1^infty1raizn
diverge, logo a série dada não é absolutamente convergente.

Passo 3

Agora aplicamos o critério de Leibniz (série alternada). Definimos
an = 1raizn
Observamos que:
  1. an>0 para todo n.
  2. an+1 = 1raizn+1 < 1raizn = an, ou seja, (an) é decrescente.
  3. limntoinfty an = limntoinfty1raizn = 0.
Pelo critério de Leibniz, a série alternada
sumn=1^infty (-1)^n-1an
converge.

Passo 4

Como a série não é absolutamente convergente (Passo 2) mas é convergente pelo critério de Leibniz (Passo 3), ela converge condicionalmente.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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