Verifique se as séries são absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes.
Passo 1
O enunciado nos dá a série alternada
e pede para verificar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos primeiro testar a convergência absoluta e depois usar o critério de Leibniz para a convergência condicional.
Passo 2
Para testar a convergência absoluta, analisamos a série dos valores absolutos:
Esta é uma série p-série com p=tfrac12. Sabemos que uma p-série
sumn=1^infty1n^p
converge somente se p>1. Como tfrac12<1, concluímos que
sumn=1^infty1raizn
diverge, logo a série dada não é absolutamente convergente.
Passo 3
Agora aplicamos o critério de Leibniz (série alternada). Definimos
an = 1raizn
Observamos que:
an>0 para todo n.
an+1 = 1raizn+1 < 1raizn = an, ou seja, (an) é decrescente.
limntoinfty an = limntoinfty1raizn = 0.
Pelo critério de Leibniz, a série alternada
sumn=1^infty (-1)^n-1an
converge.
Passo 4
Como a série não é absolutamente convergente (Passo 2) mas é convergente pelo critério de Leibniz (Passo 3), ela converge condicionalmente.