Seja
o plano tangente ao gráfico de
em
. Seja
o volume do tetraédro determinado por
e pelos planos
.)
i) Encontre a expressão de
.
ii) Calcule
e
iii) Encontre o volume mínimo do tetraédro. O valor mínimo de
ocorre quando
e
.
i) Encontre a expressão de
ii) Calcule
iii) Encontre o volume mínimo do tetraédro. O valor mínimo de
Passo 1
O enunciado dá a superfície
e pede o plano tangente em
com
,
,
. Depois, formamos o tetraédro cujos vértices são a origem e as interseções desse plano com os planos coordenados
,
,
. Precisamos descobrir a equação do plano tangente, seus interceptos, o volume em função de
, as derivadas parciais e enfim o valor mínimo.
Passo 2
Calculamos o gradiente de
:
Em
temos
,
,
. Logo o plano tangente é
isto é
Passo 3
Para achar os interceptos:
- Com
vem
- Com
resolvemos , daí
- Com
resolvemos , daí
Passo 4
O volume do tetraédro com vértices
,
,
,
é
Passo 5
Substituindo
obtemos
portanto
Passo 6
Para as derivadas parciais usemos
Calcula-se
Passo 7
No interior (
) os denominadores são positivos, então igualamos os numeradores a zero:
Dessas duas obtemos
e então
, logo
,
. Como
,
. Substituindo em
:
Resposta
(i)
(ii)
(iii) O volume mínimo é , obtido em
.
(ii)
(iii) O volume mínimo é