Seja Pi o plano tangente ao gráfico de f(x, y)=1-x^2-y^2 em (a, b), a>0, b>0, a^2+b^2<1. Seja V(a, b) o volume do tetraédro determinado por Pi e pelos planos coordenados(x=0, y=0, z=0.)
i) Encontre a expressão de V(a, b).
ii) Calcule partial Vpartial a e partial Vpartial b
iii) Encontre o volume mínimo do tetraédro. O valor mínimo de V(a, b) ocorre quando partial Vpartial a=0 e partial Vpartial b=0.

Passo 1

O enunciado dá a superfície
z = f(x,y) = 1 - x^2 - y^2
e pede o plano tangente em (a,b) com a>0, b>0, a^2+b^2<1. Depois, formamos o tetraédro cujos vértices são a origem e as interseções desse plano com os planos coordenados x=0, y=0, z=0. Precisamos descobrir a equação do plano tangente, seus interceptos, o volume em função de a,b, as derivadas parciais e enfim o valor mínimo.

Passo 2

Calculamos o gradiente de f:
fx(x,y) = -2x, fy(x,y) = -2y
Em (a,b) temos f(a,b)=1-a^2-b^2, fx(a,b)=-2a, fy(a,b)=-2b. Logo o plano tangente é
z = f(a,b) + fx(a,b),(x-a) + fy(a,b),(y-b),
isto é
z = 1 - a^2 - b^2 ;-;2a(x-a);-;2b(y-b) = 1 + a^2 + b^2 ;-;2a,x;-;2b,y

Passo 3

Para achar os interceptos:
  1. Com x=0,y=0 vem
z0 = 1 + a^2 + b^2
  1. Com y=0,z=0 resolvemos 2a,x = 1+a^2+b^2, daí
x0 = 1+a^2+b^22a
  1. Com x=0,z=0 resolvemos 2b,y = 1+a^2+b^2, daí
y0 = 1+a^2+b^22b

Passo 4

O volume do tetraédro com vértices (0,0,0), (x0,0,0), (0,y0,0), (0,0,z0) é
V = x0,y0,z06

Passo 5

Substituindo x0,y0,z0 obtemos
x0,y0 = (1+a^2+b^2)^24ab, z0 = 1+a^2+b^2,
portanto
V(a,b) = 16,(1+a^2+b^2)^24ab,(1+a^2+b^2) = (1+a^2+b^2)^324,a,b

Passo 6

Para as derivadas parciais usemos
V(a,b) = U(a,b)24,a,b, U(a,b)=(1+a^2+b^2)^3
Calcula-se
partial Vpartial a = 124, Ua,(a,b);-;U,(b)(a,b)^2 ;Longrightarrow; partial Vpartial a = (1+a^2+b^2)^2,(5a^2 -1 -b^2)24,a^2,b,
partial Vpartial b = (1+a^2+b^2)^2,(5b^2 -1 -a^2)24,a,b^2

Passo 7

No interior ( a>0,b>0) os denominadores são positivos, então igualamos os numeradores a zero:
5a^2 -1 - b^2 =0, 5b^2 -1 - a^2 =0
Dessas duas obtemos a^2=b^2 e então 5a^2 = 1 + a^2, logo a^2 = tfrac14, b^2=tfrac14. Como a,b>0, a=b=tfrac12. Substituindo em V:
Vmin = l(1+tfrac14+tfrac14r)^324,tfrac12,tfrac12 = l(tfrac32r)^36 = 27/86 = 916

Resposta

(i) V(a,b)=(1+a^2+b^2)^324,a,b
(ii) partial Vpartial a=(1+a^2+b^2)^2,(5a^2 -1 -b^2)24,a^2,b, partial Vpartial b=(1+a^2+b^2)^2,(5b^2 -1 -a^2)24,a,b^2
(iii) O volume mínimo é Vmin=tfrac916, obtido em a=b=tfrac12.

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