Calcule:
D_{x}\left[4 \cdot x^{5}\right]=

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos. O enunciado pede calcular a derivada em relação a x de uma função polinomial simples:
  • Função dada: f(x)=4\cdot x^{5}.
  • Pedido: encontrar D_{x}\left[4 \cdot x^{5}\right], isto é, a derivada de f em função de x.

Passo 2

O que é derivada, de maneira intuitiva (mini-aula). A derivada de uma função f(x) em relação a x mede a taxa de variação instantânea de f quando x muda — pensa como a inclinação da reta tangente ao gráfico de f em cada ponto. Matematicamente, pela definição limite,
D_{x}[f(x)] = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
mas para muitas funções polinomiais usamos regras prontas (que vêm da definição por limite) porque tornam o cálculo muito mais rápido na prova.

Passo 3

Regras que vamos usar (explicadas com calma):
  • Regra do fator constante (linearidade): para qualquer constante c e função g(x),
D_{x}\big[c\cdot g(x)\big] = c\cdot D_{x}\big[g(x)\big].
Isto significa que posso “puxar” o 4 para fora da operação de derivar.
  • Regra da potência (power rule): para inteiro positivo n,
D_{x}\big[x^{n}\big] = n\cdot x^{n-1}.
Breve justificativa: usando a definição limite e o binômio de Newton, ao calcular \dfrac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h} aparece um termo n x^{n-1} que, ao fazer h\to0, é o que fica; os outros termos têm fatores h e desaparecem no limite.

Passo 4

Aplicando as regras ao nosso problema, passo a passo:
  1. Identifico o fator constante 4. Pela regra do fator constante,
D_{x}\big[4\cdot x^{5}\big] = 4\cdot D_{x}\big[x^{5}\big].
  1. Aplico a regra da potência à função x^{5}. Pela regra da potência,
D_{x}\big[x^{5}\big] = 5\cdot x^{4}.
  1. Substituo esse resultado na expressão com o fator 4:
D_{x}\big[4\cdot x^{5}\big] = 4\cdot \big(5\cdot x^{4}\big).

Passo 5

Simplificação final da multiplicação de constantes:
4\cdot \big(5\cdot x^{4}\big) = \big(4\cdot 5\big)\cdot x^{4} = 20\cdot x^{4}.

Resposta

20\cdot x^{4}

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