Calcule:
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos. O enunciado pede calcular a derivada em relação a
de uma função polinomial simples:
- Função dada:
. - Pedido: encontrar
, isto é, a derivada de em função de .
Passo 2
O que é derivada, de maneira intuitiva (mini-aula). A derivada de uma função
em relação a
mede a taxa de variação instantânea de
quando
muda — pensa como a inclinação da reta tangente ao gráfico de
em cada ponto. Matematicamente, pela definição limite,
mas para muitas funções polinomiais usamos regras prontas (que vêm da definição por limite) porque tornam o cálculo muito mais rápido na prova.
Passo 3
Regras que vamos usar (explicadas com calma):
- Regra do fator constante (linearidade): para qualquer constante
e função ,
Isto significa que posso “puxar” o
para fora da operação de derivar.
- Regra da potência (power rule): para inteiro positivo
,
Breve justificativa: usando a definição limite e o binômio de Newton, ao calcular
aparece um termo
que, ao fazer
, é o que fica; os outros termos têm fatores
e desaparecem no limite.
Passo 4
Aplicando as regras ao nosso problema, passo a passo:
- Identifico o fator constante
. Pela regra do fator constante,
- Aplico a regra da potência à função
. Pela regra da potência,
- Substituo esse resultado na expressão com o fator
:
Passo 5
Simplificação final da multiplicação de constantes: