A função de Airy A i(z) é analítica em todo plano complexo? Discuta.

Passo 1

O enunciado pergunta se a função de Airy Ai(z) é analítica em todo o plano complexo.
Informações que vamos usar (isto é, aquilo que o problema nos dá implicitamente ou que é padrão sobre Ai):
  • Ai(z) é uma solução da equação diferencial de Airy
y''-z\,y=0.
  • Queremos saber se Ai(z) é analítica em todo o plano complexo, ou seja, se é uma função inteira (analítica em cada ponto z\in\mathbb{C}).
  • Podemos trabalhar com representações comuns de Ai(z): pela série de potências (solução em torno de 0) e por representações integrais conhecidas.

Passo 2

Escolha do método: há várias maneiras de responder. Vou usar dois caminhos complementares e bem elementares:
  1. Método da série de potências (método de séries para equações diferenciais) — este mostra explicitamente que existe uma expansão em potência com raio de convergência infinito, o que dá analyticity em todo o plano.
  2. Comentário complementar por representação integral (mostra de outra forma que a função se estende analiticamente em \mathbb{C}).
Escolhi esses métodos porque a série de potências é a forma mais direta e elementar para mostrar que uma solução de uma EDO linear com coeficientes polinomiais é analítica; a representação integral dá intuição e uma verificação alternativa.

Passo 3

Aplicando o método da série de potências. Procuro uma solução em torno de 0 na forma
y(z)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n,
onde os a_n são números complexos a determinar. Então
y''(z)=\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)\,a_{n+2}\,z^{n}.
Substituindo na equação y''-z y=0 obtemos
\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)\,a_{n+2}\,z^{n} \;-\; \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^{n+1} = 0.
Para comparar potências de z alinhamos os somatórios: a segunda soma pode ser escrita como \sum_{n=1}^{\infty} a_{n-1} z^n. Igualando coeficientes de potências de z obtemos as condições:
  • Para o termo z^0:
2\cdot1\;a_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad a_2=0.
  • Para n\ge 1 (coeficiente de z^n):
(n+2)(n+1)\,a_{n+2} - a_{n-1} = 0,
ou seja
a_{n+2}=\frac{a_{n-1}}{(n+2)(n+1)}\qquad (n\ge 1).
Dessa recorrência fica claro que todos os coeficientes a_n são determinados pelos dois coeficientes iniciais a_0 e a_1. Em particular obtemos duas séries independentes (uma com a_0 não nulo e a_1=0, outra com a_1 não nulo e a_0=0), que são as duas soluções fundamentais da EDO. A função Ai(z) é uma combinação linear específica dessas duas séries (definida habitualmente por condições de decaimento para z\to+\infty real).

Passo 4

Convergência da série (por que o raio é infinito). A recorrência envolve divisão por (n+2)(n+1), ou seja por fatores que crescem quadráticamente com n. Isso faz com que os coeficientes a_n decaiam rapidamente quando n\to\infty. Intuição/argumento simples: a cada três passos a recorrência introduz um produto de fatores do tipo (\cdot)(\cdot) no denominador, o que dá um decaimento mais forte que qualquer fator exponencial em n — portanto a série tem raio de convergência infinito. Formalmente, pode-se aplicar o teste da razão à série e, usando a recorrência, mostrar que
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=0,
o que implica raio de convergência infinito. Assim a expansão em série de potências converge para todo z\in\mathbb{C}; logo qualquer solução obtida por esse processo é inteira.
Observação prática e teorema geral: existe um teorema padrão de teoria de equações diferenciais lineares com coeficientes analíticos que diz: se os coeficientes da equação
y'' + p_1(z) y' + p_0(z) y = 0
são analíticos numa região (aqui p_1=0 e p_0=-z, ambos polinomiais e portanto inteiros), então as soluções são analíticas nessa região. Aplicado ao caso presente, como os coeficientes são polinomiais (analíticos em todo \mathbb{C}), as soluções, e em particular Ai(z), são analíticas em todo \mathbb{C}. Isso é uma forma elegante e geral de chegar à mesma conclusão que a verificação por séries.

Passo 5

Representação integral — confirmação alternativa e intuição. Uma forma clássica de definir Ai(z) é pela integral (uma das representações)
Ai(z)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}\cos\!\biggl(\tfrac{t^3}{3}+z t\biggr)\,dt,
que converge absolutamente e define uma função que, ao ser vista como função de z, é entera (o integrando é uma função inteira em z para cada t e a integral converge uniformemente em compactos de z, permitindo a troca integral–derivada e garantindo analyticity). Existem também representações por integrais de contorno no plano complexo que mostram de forma ainda mais direta que Ai(z) é uma função inteira. Logo a representação integral confirma e dá outra visão: não há singularidade finita, logo Ai é inteira.

Passo 6

Consequências e comentários finais importantes (para a prova e intuição):
  • Não há singularidades de primeira ordem, ramo ou ponto de ramificação finito: Ai(z) não precisa de corte no plano complexo — é uma função inteira.
  • Ai(z) tem zeros complexos espalhados no plano, mas zeros não são singularidades.
  • Quanto ao comportamento no infinito: embora inteira, Ai tem crescimento rápido em certas direções; tecnicamente Ai é uma função inteira de ordem \rho=\tfrac{3}{2} (isto é um detalhe mais avançado, mas útil para entender o crescimento assintótico).

Resposta

Sim. Ai(z) é uma função inteira: é analítica em todo o plano complexo.

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