A função de Airy
é analítica em todo plano complexo? Discuta.
Passo 1
O enunciado pergunta se a função de Airy
é analítica em todo o plano complexo.
Informações que vamos usar (isto é, aquilo que o problema nos dá implicitamente ou que é padrão sobre ):
Informações que vamos usar (isto é, aquilo que o problema nos dá implicitamente ou que é padrão sobre
-
é uma solução da equação diferencial de Airy
- Queremos saber se
é analítica em todo o plano complexo, ou seja, se é uma função inteira (analítica em cada ponto ). - Podemos trabalhar com representações comuns de
: pela série de potências (solução em torno de ) e por representações integrais conhecidas.
Passo 2
Escolha do método: há várias maneiras de responder. Vou usar dois caminhos complementares e bem elementares:
- Método da série de potências (método de séries para equações diferenciais) — este mostra explicitamente que existe uma expansão em potência com raio de convergência infinito, o que dá analyticity em todo o plano.
- Comentário complementar por representação integral (mostra de outra forma que a função se estende analiticamente em
).
Escolhi esses métodos porque a série de potências é a forma mais direta e elementar para mostrar que uma solução de uma EDO linear com coeficientes polinomiais é analítica; a representação integral dá intuição e uma verificação alternativa.
Passo 3
Aplicando o método da série de potências. Procuro uma solução em torno de
na forma
onde os
são números complexos a determinar. Então
Substituindo na equação
obtemos
Para comparar potências de
alinhamos os somatórios: a segunda soma pode ser escrita como
. Igualando coeficientes de potências de
obtemos as condições:
- Para o termo
:
- Para
(coeficiente de ):
ou seja
Dessa recorrência fica claro que todos os coeficientes
são determinados pelos dois coeficientes iniciais
e
. Em particular obtemos duas séries independentes (uma com
não nulo e
, outra com
não nulo e
), que são as duas soluções fundamentais da EDO. A função
é uma combinação linear específica dessas duas séries (definida habitualmente por condições de decaimento para
real).
Passo 4
Convergência da série (por que o raio é infinito). A recorrência envolve divisão por
, ou seja por fatores que crescem quadráticamente com
. Isso faz com que os coeficientes
decaiam rapidamente quando
. Intuição/argumento simples: a cada três passos a recorrência introduz um produto de fatores do tipo
no denominador, o que dá um decaimento mais forte que qualquer fator exponencial em
— portanto a série tem raio de convergência infinito. Formalmente, pode-se aplicar o teste da razão à série e, usando a recorrência, mostrar que
o que implica raio de convergência infinito. Assim a expansão em série de potências converge para todo
; logo qualquer solução obtida por esse processo é inteira.
Observação prática e teorema geral: existe um teorema padrão de teoria de equações diferenciais lineares com coeficientes analíticos que diz: se os coeficientes da equação
são analíticos numa região (aqui
e
, ambos polinomiais e portanto inteiros), então as soluções são analíticas nessa região. Aplicado ao caso presente, como os coeficientes são polinomiais (analíticos em todo
), as soluções, e em particular
, são analíticas em todo
. Isso é uma forma elegante e geral de chegar à mesma conclusão que a verificação por séries.
Passo 5
Representação integral — confirmação alternativa e intuição. Uma forma clássica de definir
é pela integral (uma das representações)
que converge absolutamente e define uma função que, ao ser vista como função de
, é entera (o integrando é uma função inteira em
para cada
e a integral converge uniformemente em compactos de
, permitindo a troca integral–derivada e garantindo analyticity). Existem também representações por integrais de contorno no plano complexo que mostram de forma ainda mais direta que
é uma função inteira. Logo a representação integral confirma e dá outra visão: não há singularidade finita, logo
é inteira.
Passo 6
Consequências e comentários finais importantes (para a prova e intuição):
- Não há singularidades de primeira ordem, ramo ou ponto de ramificação finito:
não precisa de corte no plano complexo — é uma função inteira. -
tem zeros complexos espalhados no plano, mas zeros não são singularidades. - Quanto ao comportamento no infinito: embora inteira,
tem crescimento rápido em certas direções; tecnicamente é uma função inteira de ordem (isto é um detalhe mais avançado, mas útil para entender o crescimento assintótico).
Resposta
Sim.
é uma função inteira: é analítica em todo o plano complexo.