Calcule:
\frac{d}{d x}\left[\frac{x^{3}}{3}\right]=

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada em relação a x da função
\frac{x^{3}}{3}.
Informações dadas:
  • A variável independente é x.
  • A função a derivar é f(x)=\dfrac{x^{3}}{3}.
    O objetivo é encontrar \dfrac{d}{dx}\!\left[\dfrac{x^{3}}{3}\right].

Passo 2

O que é derivada (rápido e intuitivo): a derivada de uma função mede a taxa de variação instantânea — basicamente o declive (inclinação) da reta tangente à curva no ponto x. A definição formal é o limite
\frac{d}{dx}f(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Não precisamos usar esse limite toda vez; existem regras que simplificam muito o cálculo.

Passo 3

Regras que vamos usar (explicadas):
  • Regra do fator constante: se c é uma constante e g(x) é função, então
\frac{d}{dx}\big[c\cdot g(x)\big]=c\cdot\frac{d}{dx}g(x).
Isto diz que podemos colocar constantes fora da derivada.
  • Regra do poder (power rule): para um inteiro n,
\frac{d}{dx}\big[x^{n}\big]=n\,x^{n-1}.
Aqui n é o expoente e x a variável; a regra diz que multiplicamos por n e diminuímos o expoente em 1.

Passo 4

Aplicando as regras à nossa função:
  1. Identificamos uma constante multiplicativa c=\dfrac{1}{3} e g(x)=x^{3}. Pela regra do fator constante,
\frac{d}{dx}\left[\frac{x^{3}}{3}\right]=\frac{1}{3}\cdot\frac{d}{dx}\big[x^{3}\big].
  1. Usando a regra do poder com n=3,
\frac{d}{dx}\big[x^{3}\big]=3x^{2}.
  1. Substituindo,
\frac{d}{dx}\left[\frac{x^{3}}{3}\right]=\frac{1}{3}\cdot 3x^{2}=x^{2}.

Passo 5

Breve verificação usando a definição por limites (confirmação rápida):
\frac{d}{dx}x^{3}=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^{3}-x^{3}}{h} =\lim_{h\to0}\frac{3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}}{h} =\lim_{h\to0}\big(3x^{2}+3xh+h^{2}\big)=3x^{2}.
Multiplicando por \dfrac{1}{3} retorna x^{2}, confirmando o resultado.

Resposta

x^{2}

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