Encontre uma função analítica cuja parte real é u(x, y)=e^{-x}(x \cos y+ y \operatorname{sen} y ).

Passo 1

O enunciado dá a função real
u(x,y)=e^{-x}\bigl(x\cos y + y\sin y\bigr)
e pede: encontrar uma função analítica (holomorfa) cuja parte real seja u(x,y).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função real u(x,y) está explicitamente dada em termos de x e y.
  • Quer-se uma função complexa f(z)=u(x,y)+i v(x,y) analítica, isto é, encontrar a parte imaginária v(x,y) (até constante real) tal que f seja holomorfa.

Passo 2

Ideia e ferramenta que vamos usar (sem resolver ainda). Se f=u+iv é analítica então as derivadas parciais de u e v satisfazem as equações de Cauchy–Riemann:
u_x = v_y,\qquad u_y = -v_x,
onde u_x=\dfrac{\partial u}{\partial x}, u_y=\dfrac{\partial u}{\partial y}, v_x=\dfrac{\partial v}{\partial x} e v_y=\dfrac{\partial v}{\partial y}.
Plano: calcular u_x e u_y, usar v_x=-u_y e integrar em x para obter v até uma função arbitrária de y; depois usar v_y=u_x para determinar essa função de y.

Passo 3

Calcular u_x. Aplicamos a regra do produto a u(x,y)=e^{-x}\cdot (x\cos y + y\sin y). Primeiro derivada de e^{-x} é -e^{-x}, e a segunda fator depende de x apenas pelo termo x\cos y (pois \cos y é tratado como constante ao derivar em x). Assim,
\begin{aligned} u_x &= \frac{\partial}{\partial x}\bigl[e^{-x}\bigr]\cdot (x\cos y + y\sin y) + e^{-x}\cdot \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\cos y + y\sin y\bigr)\\[4pt] &= -e^{-x}(x\cos y + y\sin y) + e^{-x}(\cos y)\\[4pt] &= e^{-x}\bigl(-x\cos y - y\sin y + \cos y\bigr)\\[4pt] &= e^{-x}\bigl((1-x)\cos y - y\sin y\bigr). \end{aligned}]

Passo 4

Calcular u_y. Agora e^{-x} é constante em relação a y, e derivamos (x\cos y + y\sin y) em y:
\frac{\partial}{\partial y}(x\cos y + y\sin y)=x(-\sin y)+(\sin y + y\cos y)=(1-x)\sin y + y\cos y.
Multiplicando por e^{-x} obtemos
u_y = e^{-x}\bigl((1-x)\sin y + y\cos y\bigr).

Passo 5

Usar as equações de Cauchy–Riemann. Da segunda equação temos
v_x = -u_y = -e^{-x}\bigl((1-x)\sin y + y\cos y\bigr).
Integramos essa expressão em relação a x (tratando y como constante) para obter v(x,y) até uma função arbitrária C(y):
v(x,y)=\int v_x\,dx = \int -e^{-x}\bigl((1-x)\sin y + y\cos y\bigr)\,dx + C(y).
Fazendo a integral por partes observacional: note que
\frac{d}{dx}\bigl(x e^{-x}\bigr)=e^{-x}(1-x),
então
\int -e^{-x}(1-x)\sin y\,dx = -\sin y\int e^{-x}(1-x)\,dx = -\sin y\cdot x e^{-x}.
E
\int -e^{-x}y\cos y\,dx = -y\cos y\int e^{-x}\,dx = -y\cos y\cdot(-e^{-x}) = y\cos y\,e^{-x}.
Somando os termos,
v(x,y)=e^{-x}\bigl(-x\sin y + y\cos y\bigr) + C(y).

Passo 6

Determinar C(y) usando a outra equação de Cauchy–Riemann v_y=u_x. Calculamos v_y a partir da expressão encontrada:
\begin{aligned} v_y &= \frac{\partial}{\partial y}\Bigl[e^{-x}\bigl(-x\sin y + y\cos y\bigr)\Bigr] + C'(y)\\[4pt] &= e^{-x}\bigl(-x\cos y + \cos y - y\sin y\bigr) + C'(y)\\[4pt] &= e^{-x}\bigl((1-x)\cos y - y\sin y\bigr) + C'(y). \end{aligned}
Comparando com u_x (ver Passo 3), que é \;u_x=e^{-x}\bigl((1-x)\cos y - y\sin y\bigr), obtemos
v_y = u_x \quad\Longrightarrow\quad C'(y)=0.
Logo C(y) é constante real, digamos C(y)=C com C\in\mathbb{R}.]

Passo 7

Escrever a função complexa f. Temos, até constante imaginária,
v(x,y)=e^{-x}\bigl(-x\sin y + y\cos y\bigr)+C.
Portanto
\begin{aligned} f(z)&=u(x,y)+i v(x,y)\\[4pt] &= e^{-x}\bigl(x\cos y + y\sin y\bigr) + i\;e^{-x}\bigl(-x\sin y + y\cos y\bigr) + iC\\[4pt] &= e^{-x}\Bigl( x(\cos y - i\sin y) + y(\sin y + i\cos y)\Bigr) + iC. \end{aligned}
Usando \cos y - i\sin y = e^{-i y} e observando que \sin y + i\cos y = i e^{-i y}, o parêntese se factoriza:
x(\cos y - i\sin y) + y(\sin y + i\cos y) = (x+iy)e^{-i y}.
Como z=x+iy e e^{-x}e^{-i y}=e^{-z}, obtemos a forma simples
f(z)=z e^{-z} + iC,
onde C\in\mathbb{R} é constante. Escolhendo C=0 temos uma escolha natural f(z)=z e^{-z}.]

Resposta

f(z)=z e^{-z}+iC,\quad C\in\mathbb{R}

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