Encontre uma função analítica cuja parte real é
).
Passo 1
O enunciado dá a função real
e pede: encontrar uma função analítica (holomorfa) cuja parte real seja
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função real
está explicitamente dada em termos de e . - Quer-se uma função complexa
analítica, isto é, encontrar a parte imaginária (até constante real) tal que seja holomorfa.
Passo 2
Ideia e ferramenta que vamos usar (sem resolver ainda). Se
é analítica então as derivadas parciais de
e
satisfazem as equações de Cauchy–Riemann:
onde
,
,
e
.
Plano: calcular e
, usar
e integrar em
para obter
até uma função arbitrária de
; depois usar
para determinar essa função de
.
Plano: calcular
Passo 3
Calcular
. Aplicamos a regra do produto a
. Primeiro derivada de
é
, e a segunda fator depende de
apenas pelo termo
(pois
é tratado como constante ao derivar em
). Assim,
Passo 4
Calcular
. Agora
é constante em relação a
, e derivamos
em
:
Multiplicando por
obtemos
Passo 5
Usar as equações de Cauchy–Riemann. Da segunda equação temos
Integramos essa expressão em relação a
(tratando
como constante) para obter
até uma função arbitrária
:
Fazendo a integral por partes observacional: note que
então
E
Somando os termos,
Passo 6
Determinar
usando a outra equação de Cauchy–Riemann
. Calculamos
a partir da expressão encontrada:
Comparando com
(ver Passo 3), que é
, obtemos
Logo
é constante real, digamos
com
.]
Passo 7
Escrever a função complexa
. Temos, até constante imaginária,
Portanto
Usando
e observando que
, o parêntese se factoriza:
Como
e
, obtemos a forma simples
onde
é constante. Escolhendo
temos uma escolha natural
.]