Calcule:
D_{x}\left[\pi \cdot x^{2}\right]=

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada em relação a x da função \pi \cdot x^{2}.
Informações dadas:
  • A função cuja derivada queremos é \pi \cdot x^{2}.
  • \pi é uma constante (número real fixo).
  • x é a variável em relação à qual derivamos.

Passo 2

Regra que vamos usar primeiro: a regra do fator constante (constante multiplicativa). Ela diz que, se c é constante e f(x) é diferenciável, então
\frac{d}{dx}\bigl[c\cdot f(x)\bigr] = c\cdot \frac{d}{dx}f(x).
Aqui c corresponde a \pi e f(x) corresponde a x^{2}. A ideia é simples: constantes saem da operação de derivada.

Passo 3

Regra que vamos usar em seguida: a regra da potência. Para qualquer inteiro (ou real) n,
\frac{d}{dx}x^{n} = n\,x^{n-1}.
Explicando: essa fórmula dá a inclinação da função x^{n} em qualquer ponto. No nosso caso usamos n=2, logo
\frac{d}{dx}x^{2} = 2\,x^{1} = 2x.

Passo 4

Aplicando as duas regras à função \pi\cdot x^{2}:
\frac{d}{dx}\bigl(\pi\cdot x^{2}\bigr) = \pi \cdot \frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr) = \pi \cdot (2x) = 2\pi x.

Passo 5

Interpretação rápida e checagem: a derivada é uma função linear em x. Por exemplo, no ponto x=1 a taxa de variação (declive) vale
2\pi\cdot 1 = 2\pi,
o que faz sentido porque para x^{2} a derivada em 1 é 2, e multiplicando pela constante \pi obtemos 2\pi. Força aí — esse tipo de aplicação de duas regras simples (fator constante + potência) aparece direto na prova.

Resposta

\,2\pi x

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