Encontre \frac{d y}{d x} em cada caso:
y=x^{4}+x^{2}+1

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede-se encontrar a derivada de y em relação a x, ou seja \dfrac{dy}{dx}.
  • A função dada é y = x^{4} + x^{2} + 1.
  • Informação útil implícita: x é a variável independente e y é a função de x.

Passo 2

Entendendo o objetivo (de forma bem simples e prática).
  • A derivada \dfrac{dy}{dx} mede como y muda quando x muda — é a “inclinação” da função em cada ponto.
  • Notação comum: \dfrac{d}{dx} significa "derivar em relação a x". Então queremos \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{4}+x^{2}+1\bigr).

Passo 3

Regras básicas que vamos usar (explicadas passo a passo).
  • Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. \frac{d}{dx}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=\frac{d}{dx}f(x)+\frac{d}{dx}g(x).Aqui isso permite derivar termo a termo.
  • Regra do poder (power rule): para qualquer inteiro n, \frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.Explicando: pega-se o expoente n, multiplica o monômio por esse n e diminui o expoente em 1.
  • Derivada de constante: se c é constante então \frac{d}{dx}c=0.Porque constantes não mudam quando x muda.

Passo 4

Aplicando a regra da soma: derivamos cada termo separadamente.
\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}+x^{2}+1\bigr)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(1\bigr).

Passo 5

Derivada do primeiro termo \,x^{4}.
Usando a regra do poder com n=4:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}\bigr)=4\,x^{3}.
Explicando numericamente: trouxe o 4 para frente e reduzi o expoente de 4 para 3.

Passo 6

Derivada do segundo termo \,x^{2}.
Usando a regra do poder com n=2:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2\,x^{1}=2x.
Aqui o expoente 2 foi multiplicador e o expoente resultante ficou 1, que escrevemos simplesmente como x.

Passo 7

Derivada do terceiro termo (constante) \,1.
Pela regra da derivada de constante:
\frac{d}{dx}\bigl(1\bigr)=0.

Passo 8

Somando as derivadas obtidas e simplificando.
\frac{dy}{dx}=4x^{3}+2x+0=4x^{3}+2x.
Opcional (forma factorizada, útil em alguns contextos):
\frac{dy}{dx}=2x\bigl(2x^{2}+1\bigr).

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=4x^{3}+2x

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