Calcule d yd x com aplicação avançada da regra da cadeia:

Passo 1

O enunciado dá y = lnl[tan(4x^2+1)r]. O conteúdo é derivação de função composta, então vamos aplicar a regra da cadeia em três níveis: primeiro em ln, depois em tan e finalmente no polinômio 4x^2+1.

Passo 2

Definimos
u = tan(v), v = 4x^2+1,
de modo que y = ln(u). A derivada de ln(u) em relação a u é 1/u, então
dydx = u'u

Passo 3

Agora derivamos u = tan(v). Como
ddvtan(v) = sec^2(v),
pela regra da cadeia temos
u' = dudx = dtan(v)dv,dvdx = sec^2(v),v'

Passo 4

Derivando v = 4x^2+1 obtemos
v' = ddx(4x^2+1) = 8x
Substituindo em u'
u' = 8x,sec^2l(4x^2+1r)

Passo 5

Voltando a dydx = u'u e usando u=tan(4x^2+1), concluímos
dydx = 8x,sec^2l(4x^2+1r)tanl(4x^2+1r)

Resposta

dydx = 8x,sec^2l(4x^2+1r)tanl(4x^2+1r)

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