Calcule o gradiente do campo escalar f(r, theta, phi)=r^8 phi^2 theta^3, em coordenadas esféricas.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede o gradiente de
f(r,theta,phi)=r^8,phi^2,theta^3
em coordenadas esféricas. Vamos usar a base ortonormal ( er, etheta, ephi) e a fórmula padrão do gradiente nesse sistema.

Passo 2

A fórmula do gradiente em coordenadas esféricas é
nabla f = erpartial fpartial r + etheta1rpartial fpartialtheta + ephi1rsinthetapartial fpartialphi

Passo 3

Primeiro calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial r=8,r^7,phi^2,theta^3, partial fpartialtheta=3,r^8,phi^2,theta^2, partial fpartialphi=2,r^8,theta^3,phi

Passo 4

Substituindo na expressão do gradiente:
nabla f = erl(8,r^7,phi^2,theta^3r) + etheta1rl(3,r^8,phi^2,theta^2r) + ephi1rsinthetal(2,r^8,theta^3,phir)

Passo 5

Finalmente simplificamos os fatores de r:
nabla f =8,r^7,phi^2,theta^3, er +3,r^7,phi^2,theta^2, etheta +2,r^7,theta^3,phisintheta, ephi

Resposta

nabla f =8,r^7,phi^2,theta^3, er +3,r^7,phi^2,theta^2, etheta +2,r^7,theta^3,phisintheta, ephi

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