Nos itens abaixo, efetue a antidiferenciação(integrais indefinidas).
integral sec ^2(5 t) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral sec^2(5t),dt
O conteúdo envolvido é reconhecimento de uma primitiva do tipo integral sec^2(u),du=tan(u)+C e uso de substituição simples para lidar com o fator 5 dentro da função.

Passo 2

Reconhecemos que a derivada de tan(u) é sec^2(u). Então, para usar essa primitiva, fazemos a substituição
u = 5t, du = 5,dt

Passo 3

Isolando dt em função de du, temos
dt = du5
Substituindo na integral original, obtemos
integral sec^2(5t),dt = integral sec^2(u),du5 = 15integral sec^2(u),du

Passo 4

Agora usamos a primitiva conhecida:
integral sec^2(u),du = tan(u) + C
Assim,
15integral sec^2(u),du = 15,tan(u) + C

Passo 5

Voltando à variável original t, com u=5t, concluímos que
integral sec^2(5t),dt = 15,tan(5t) + C

Resposta

15tan(5t) + C

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