Calcule d yd x com aplicação avançada da regra da cadeia:
y=raizsin ^2(2 x)+cos ^2(3 x)

Passo 1

O enunciado pede dydx para
y = raizsin^2(2x) + cos^2(3x)
Aqui usamos aplicação avançada da regra da cadeia, pois temos uma raiz quadrada (potência 1/2) envolvendo soma de funções elevadas ao quadrado e argumentos lineares em x. Vamos precisar da regra da potência, da derivada de soma e da regra da cadeia para cada função composta.

Passo 2

Reescrevendo como potência,
y = l(sin^2(2x)+cos^2(3x)r)^1/2
Aplicando a regra da cadeia com u(x)=sin^2(2x)+cos^2(3x),
dydx = 12,u(x)^-1/2,dudx = 12(sin^2(2x)+cos^2(3x))^-1/2,dudx

Passo 3

Agora derivamos
u(x)=sin^2(2x)+cos^2(3x)
termo a termo. Para sin^2(2x):
ddxsin^2(2x) =2sin(2x)cos(2x)cdotddx(2x) =2sin(2x)cos(2x)cdot2 =4sin(2x)cos(2x) =2sin(4x)
Para cos^2(3x):
ddxcos^2(3x) =2cos(3x)l(-sin(3x)r)cdotddx(3x) =-6cos(3x)sin(3x) =-3sin(6x)
Logo,
u'(x)=2sin(4x)-3sin(6x)

Passo 4

Substituindo em dydx:
dydx = 12(sin^2(2x)+cos^2(3x))^-1/2l(2sin(4x)-3sin(6x)r) = 2sin(4x)-3sin(6x)2raizsin^2(2x)+cos^2(3x)

Resposta

dydx = 2sin(4x)-3sin(6x)2raizsin^2(2x)+cos^2(3x)

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