Calcule o divergente e o rotacional, em coordenadas esféricas, do campo vetorial .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o divergente e o rotacional de um campo vetorial em coordenadas esféricas. O campo vetorial que a gente tem é . Para isso, vamos precisar das fórmulas do divergente e do rotacional em coordenadas esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o divergente de . A fórmula do divergente em coordenadas esféricas é:
Passo 3
Vamos identificar as componentes do campo :
Passo 4
Agora, vamos calcular cada termo do divergente:
Passo 5
Passo 6
Passo 7
Juntando tudo, o divergente é:
Passo 8
Agora, vamos calcular o rotacional de . A fórmula do rotacional em coordenadas esféricas é:
Passo 9
Vamos montar o determinante:
nabla times F = 1r sin theta [ r ( partial Fphipartial theta - partial (Ftheta sin theta)partial phi ) - theta ( partial Fphipartial r - partial Frpartial phi ) + phi ( partial (r Ftheta)partial r - partial Frpartial theta ) ]