Calcule o divergente e o rotacional, em coordenadas esféricas, do campo vetorial F(r, theta, phi)= r^2 theta^2 r+r^3 phi^3 theta+r^5 phi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o divergente e o rotacional de um campo vetorial em coordenadas esféricas. O campo vetorial que a gente tem é F(r, theta, phi) = r^2 theta^2 r + r^3 phi^3 theta + r^5 phi. Para isso, vamos precisar das fórmulas do divergente e do rotacional em coordenadas esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o divergente de F. A fórmula do divergente em coordenadas esféricas é:
nabla cdot F = 1r^2 partialpartial r(r^2 Fr) + 1r sin theta partialpartial theta(Ftheta sin theta) + 1r sin theta partial Fphipartial phi

Passo 3

Vamos identificar as componentes do campo F:
Fr = r^2 theta^2, Ftheta = r^3 phi^3, Fphi = r^5

Passo 4

Agora, vamos calcular cada termo do divergente:
  1. 1r^2 partialpartial r(r^2 Fr) = 1r^2 partialpartial r(r^2 cdot r^2 theta^2) = 1r^2 cdot partialpartial r(r^4 theta^2) = 1r^2 cdot 4r^3 theta^2 = 4r theta^2

Passo 5

  1. 1r sin theta partialpartial theta(Ftheta sin theta) = 1r sin theta partialpartial theta(r^3 phi^3 sin theta) = 1r sin theta cdot r^3 phi^3 cos theta = r^2 phi^3 cot theta

Passo 6

  1. 1r sin theta partial Fphipartial phi = 1r sin theta partialpartial phi(r^5) = 1r sin theta cdot 0 = 0

Passo 7

Juntando tudo, o divergente é:
nabla cdot F = 4r theta^2 + r^2 phi^3 cot theta

Passo 8

Agora, vamos calcular o rotacional de F. A fórmula do rotacional em coordenadas esféricas é:
nabla times F = 1r sin theta r & r theta & r sin theta phi partialpartial r & partialpartial theta & partialpartial phi Fr & Ftheta & Fphi

Passo 9

Vamos montar o determinante:
nabla times F = 1r sin theta [ r ( partial Fphipartial theta - partial (Ftheta sin theta)partial phi ) - theta ( partial Fphipartial r - partial Frpartial phi ) + phi ( partial (r Ftheta)partial r - partial Frpartial theta ) ]

Passo 10

Vamos calcular cada termo dentro do colchete:
  1. partial Fphipartial theta = partial r^5partial theta = 0
  2. partial (Ftheta sin theta)partial phi = partial (r^3 phi^3 sin theta)partial phi = r^3 cdot 3 phi^2 sin theta = 3 r^3 phi^2 sin theta
  3. partial Fphipartial r = partial r^5partial r = 5 r^4
  4. partial Frpartial phi = partial (r^2 theta^2)partial phi = 0
  5. partial (r Ftheta)partial r = partial (r cdot r^3 phi^3)partial r = partial (r^4 phi^3)partial r = 4 r^3 phi^3
  6. partial Frpartial theta = partial (r^2 theta^2)partial theta = 2 r^2 theta

Passo 11

Substituindo os valores calculados:
nabla times F = 1r sin theta [ r (0 - 3 r^3 phi^2 sin theta) - theta (5 r^4 - 0) + phi (4 r^3 phi^3 - 2 r^2 theta) ]

Passo 12

Simplificando:
nabla times F = 1r sin theta [ -3 r^3 phi^2 sin theta r - 5 r^4 theta + (4 r^3 phi^3 - 2 r^2 theta) phi ]

Passo 13

Dividindo cada termo por r sin theta:
nabla times F = -3 r^2 phi^2 r - 5 r^3sin theta theta + 4 r^2 phi^3 - 2 r thetasin theta phi

Resposta

O divergente de F é nabla cdot F = 4r theta^2 + r^2 phi^3 cot theta e o rotacional de F é
nabla times F = -3 r^2 phi^2 r - 5 r^3sin theta theta + 4 r^2 phi^3 - 2 r thetasin theta phi

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