Calcule d yd x usando a regra da cadeia:
y=tan ^4(x^2+1)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = tan^4l(x^2+1r)
em relação a x. O conteúdo é aplicação da regra da cadeia para funções compostas: uma potência quarta aplicada à tangente, que por sua vez envolve o polinômio x^2+1.

Passo 2

Definimos camadas para aplicar a regra da cadeia de forma organizada:
u = x^2 + 1, v = tan(u), y = v^4

Passo 3

Derivada de y em relação a v:
dydv = 4,v^3

Passo 4

Derivada de v em relação a u:
dvdu = sec^2(u)

Passo 5

Derivada de u em relação a x:
dudx = 2x

Passo 6

Pela regra da cadeia,
dydx = dydv,dvdu,dudx = l(4v^3r),l(sec^2(u)r),(2x)
Substituindo v = tan(u) e u = x^2+1, obtemos
dydx = 8x,l(tan(x^2+1)r)^3,sec^2l(x^2+1r)

Resposta

dydx = 8x,l(tan(x^2+1)r)^3,sec^2l(x^2+1r)

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