1. Calcule d yd x dado que e^x+y=x y.

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
e^x+y = x,y
e pede dfracdydx. Para isso vamos usar diferenciação implícita, aplicando a regra da cadeia em e^x+y e a regra do produto em x,y.

Passo 2

Derivando os dois lados em relação a x, temos:
à esquerda, usando regra da cadeia,
ddxl(e^x+yr) = e^x+y,l(1 + dydxr),
à direita, usando regra do produto,
ddxl(x,yr) = y + x,dydx
Logo a igualdade das derivadas é
e^x+y,l(1 + y'r) = y + x,y',
onde escrevemos y' = dfracdydx.

Passo 3

Agora, vamos agrupar todos os termos que contêm y' num lado:
e^x+y + e^x+y,y' = y + x,y' Longrightarrow e^x+y,y' - x,y' = y - e^x+y

Passo 4

Fatorando y' no lado esquerdo e isolando-o, obtemos
y',l(e^x+y - xr) = y - e^x+y Longrightarrow y' = y - e^x+y,e^x+y - x,

Resposta

dydx = y - e^x+y,e^x+y - x,

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