Calcule f^prime(x, y) sendo f(x, y)=2 x-y

Passo 1

O enunciado pede a derivada de uma função de duas variáveis fcolonR^2toR definida por f(x,y)=2x-y. Para isso, vamos usar o conceito de derivada parcial, que mede a taxa de variação de f em relação a cada variável mantendo a outra fixa. O resultado final é a matriz jacobiana ou, equivalentemente, o gradiente de f.

Passo 2

Calculamos a derivada parcial de f em relação a x, denotada por partial fpartial x, tratando y como constante. Como f(x,y)=2x-y, a única parte que depende de x é 2x. Logo,
partial fpartial x(x,y)=2

Passo 3

Agora calculamos a derivada parcial de f em relação a y, denotada por partial fpartial y, tratando x como constante. Em f(x,y)=2x-y, a parte que depende de y é -y. Assim,
partial fpartial y(x,y)=-1

Passo 4

Reunindo as derivadas parciais, formamos o gradiente (ou jacobiana) de f:
nabla f(x,y) = partial fpartial x(x,y) partial fpartial y(x,y) = 2 -1

Resposta

f'(x,y)=nabla f(x,y)=(2,,-1)

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